Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（1，1），N（1，-1），经过某点且平行于OM、ON或MN的直线，叫该点关于△OMN的“关联线”．
例如，如图1，点P（3，0）关于△OMN的“关联线”是：y=x+3，y=-x+3，x=3．
（1）在以下3条线中，是点（4，3）关于△OMN的“关联线”（填出所有正确的序号；
①x=4；②y=-x-5；③y=x-1．
（2）如图2，抛物线y=$\frac{1}{4}$（x-m）²+n经过点A（4，4），顶点B在第一象限，且B点有一条关于△OMN的“关联线”是y=-x+5，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，过点A作AC⊥x轴于点C，点E是线段AC上除点C外的任意一点，连接OE，将△OCE沿着OE折叠，点C落在点C′的位置，当点C′在B点关于△OMN的平行于MN的“关联线”上时，满足（2）中条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在OE上？

Answer 1

分析 （1）根据经过某点且平行于OM、ON或MN的直线，叫该点关于△OMN的“关联线”，可得答案；
（2）根据关联点，可得关于n，m的关系，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于m，n的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据翻折的性质，可得OC′=OC=4，根据直角三角形的性质，可得∠C′OH的度数，根据正切函数，可得PH，根据线段的和差，可得平移的距离．

解答 解：（1）是点（4，3）关于△OMN的“关联线”，①x=4；③y=x-1．
①③．
（2）∵抛物线的顶点B（m，n）有一条关于△OMN的关联线是y=-x+5，
∴-m+5=n．
又∵抛物线过点A（4，4），或
∴$4=\frac{1}{4}{（4-m）^2}+n$．
联立，得$\left\{\begin{array}{l}{-m+5=n}\\{\frac{1}{4}（4-m）^{2}+n=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}m=2\\ n=3.\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=10\\ n=-5.\end{array}\right.$
∵顶点B在第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}m=2\\ n=3.\end{array}\right.$
∴抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}{（x-2）^2}+3$．
（3），
由y=$\frac{1}{4}$（x-2）²+3，得顶点B（2，3）．
将△OCE沿着OE折叠，点C落在点C′的位置，得
OC′=OC=4，∠C′OP=∠COP，OH=2．
∴∠C′OH=60°．
∴∠C′OP=∠COP=30°．
∴PH=$OH•tan30°=2×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
∴抛物线需要向下平移的距离
BP=BH-PH=$3-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{{9-2\sqrt{3}}}{3}$．
条件的抛物线沿对称轴向下平移$\frac{9-2\sqrt{3}}{3}$距离，其顶点落在OE上．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是关联线的定义；解（2）的关键是利用关联线，图象上的点满足函数解析式得出方程组；解（3）的关键是利用翻折的性质得出OC′=OC=4，∠C′OP=∠COP，又利用了直角三角形的性质，锐角正切函数．