Question

18．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，两条对角线相交于点O，直线EF经过点O，且EF⊥AB于点E，交边AD的延长线于点F．如果菱形的周长为24cm，求DF与OF的长．

Answer 1

分析 利用菱形的性质得AD=AB=6cm，AC平分∠BAD，AC⊥BD，则∠DAC=∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△AOD中计算出OD=$\frac{1}{2}$AD=3，AO=$\sqrt{3}$OD=3$\sqrt{3}$，则在Rt△AOE中可计算出OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AE=$\sqrt{3}$OE=$\frac{9}{2}$，然后在Rt△AEF中计算出AF=2AE=9，EF=$\sqrt{3}$AE=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，最后利用DF=AF-AD和OF=EF-OE进行计算即可．
即DF与OF的长分别为3cm，3$\sqrt{3}$cm．

解答 解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=6cm，AC平分∠BAD，AC⊥BD，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
在Rt△AOD中，∵∠OAD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=3，
AO=$\sqrt{3}$OD=3$\sqrt{3}$，
在Rt△AOE中，OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
AE=$\sqrt{3}$OE=$\frac{9}{2}$，
在Rt△AEF中，∵∠EAF=60°，
∴AF=2AE=9，EF=$\sqrt{3}$AE=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴DF=AF-AD=9-6=3，OF=EF-OE=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
即DF与OF的长分别为3cm，3$\sqrt{3}$cm．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．利用应用含30度的直角三角形三边的关系是解决此题的关键．