Question

8．如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE=CF．
（1）猜想BE与DF有怎样的位置关系BE∥DF．
（2）猜想BE与DF有怎样的数量关系BE=DF．
（3）从（1）、（2）中选一个你喜欢的结论给予证明．

Answer 1

分析 由E、F是?ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF，易证得△ABE≌△CDF（SAS），继而可判定BE=DF，进一步证出BE∥DF．

解答 解：（1）BE∥DF；∴∠AEB=∠CFD，∴∠BEF=∠DFE，∴BE∥DF
故答案为：BE∥DF；
（2）BE=DF．
故答案为：BE=DF；
（3）①选BE=DF；理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠BAE=∠DCF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF．②选BE∥DF；理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠BAE=∠DCF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE，
∴BE∥DF．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△CDF是关键．