Question

7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
（2）先利用△ABC∽△ACD，得AC²=AD•AB=48，再利用勾股定理求出CD，根据S_阴=S_半圆-S_△ABC即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ACB，∠B+∠BAC=90°，∠DCA+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD．
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴AC²=AD•AB=6×8=48，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{48-36}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•CD=$\frac{1}{2}$×$8×2\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∴S_阴=S_半圆-S_△ABC=8$π-8\sqrt{3}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型．