Question

16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）判断四边形BMNP的形状，并加以证明；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，求PN的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=BC，∠ABC=∠C=90°，根据全等三角形的性质得到AM=BP，∠BAM=∠CBP，等量代换得到∠CBP+∠AMB=90°，得到AM⊥BP，根据旋转的性质得到AM⊥MN，AM=MN即可得到结论；
（2）根据余角的性质得到∠BAM=∠CMQ，推出△ABM∽△MCQ，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{CM}=\frac{MA}{MQ}$，$\frac{MA}{MQ}=\frac{AB}{BM}$，等量代换得到$\frac{AB}{MC}=\frac{AB}{BM}$，求得BM=MC于是得到结论．

解答 解：（1）四边形PBMN是平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
在△ABM与△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BM=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCP，
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM⊥MN，AM=MN，
∴MN∥PB，MN=PB，
∴四边形BMNP是平行四边形；

（2）∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
∵∠ABM=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴$\frac{AB}{CM}=\frac{MA}{MQ}$，
∵△ABM∽△MCQ∽△AMQ，
∴$\frac{MA}{MQ}=\frac{AB}{BM}$，
∴$\frac{AB}{MC}=\frac{AB}{BM}$，
∴BM=MC，
∴PN=BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=1．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．