Question

（1）如图①，在?ABCD中，E₁F₁∥AD，M₁N₁∥AB，那么图中共有

 

个平行四边形．
（2）如图②，在?ABCD中．E₂F₂∥AD，M₂N₂∥AB，那么图中共有

 

个平行四边形．
（3）一般地，在?ABCD中，如果有E₁F₁∥AD，E₂F₂∥AD，…，E_nF_n∥AD，M₁N₁∥AB，M₂N₂∥AB，…，M_nN_n∥AB，你能猜测出图中共有多少个平行四边形吗？说说你的理由．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）由在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，易得平行四边形有：?ABCD，?ABFE，?EFCD，?AGHD，?BCHG，?OEDH，?OFCH，?OEAG，?OGBF共9个，得出规律；
（2）根据规律得出有6×6=36个平行四边形；
（3）根据规律得出有

(n+1)(n+2)

2

×

(n+1)(n+2)

2

=

(n+1)2(n+2)2

4

个平行四边形．

解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥EF，CD∥GH，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴平行四边形有：?ABCD，?ABHG，?CDGH，?BCFE，?ADFE，?AGOE，?BEOH，?OFCH，?OGDF共9个．
综上所述：图①中：AD边上有：AM₁、AD、M₁D三条线段；
AB边上有：AE₁，AB，E₁B三条线段，
故共有3×3=9个平行四边形；
故答案为：9；
（2）由（1）得：图②中，AD边上有：AM₁、AM₂、AD、M₁M₂、M₁D、M₂D六条线段，
AB边上有：AE₁、AE₂、AB、E₁E₂、E₁B、E₂B六条线段，
故共有6×6=36个平行四边形；
故答案为：36；
（3）

(n+1)2(n+2)2

4

个平行四边形；理由如下：
一般地，若有E₁F₁∥E₂F₂∥E₃F₃∥…∥E_nF_n∥AD时；则AB边上有：1+2+3+..+n+（n+1）=

(n+1)(n+2)

2

条线段，
同理，若有M₁N₁∥M₂N₂∥M₃N₃∥…∥M_nN_n∥AB时；则AD边上有：1+2+3+..+n+（n+1）=

(n+1)(n+2)

2

条线段，
则共有

(n+1)(n+2)

2

×

(n+1)(n+2)

2

=

(n+1)2(n+2)2

4

个平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质；根据题意找出规律是解决问题的关键．