Question

9．在四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，M，N．
（1）如图1，试判断四边形PQMN是什么特殊四边形，并证明你的结论．
（2）若在AB边上存在一点E，连接DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（图2）；
①判断此时四边形PQMN的形状，并证明你的结论；
②当AE=5，BE=4时，求此时四边形PQMN的周长（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD．利用三角形中位线定理判定四边形PQMN的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；
（2）先判断出△AEC≌△DEB，得出AC=BD，进而利用中位线得出MN=PN即可得出结论；
（3）先求出DF，BF，进而利用勾股定理求出BD即可得出PN即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，连结AC、BD．
∵AB，BC的中点分别为P，Q，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ∥AC，PQ=$\frac{1}{2}$AC，
同理MN∥AC．MN=$\frac{1}{2}$AC．
∴MN=PQ，MN∥PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形，

（2）①四边形PQMN是菱形；
如图2，

连接AC，BD，
∵△ADE和△BCE都是等边三角形，
∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC=60°，
∴∠AEC=∠DEB，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=BD，
∵点M，N是AD，CD的中点，
∴MN是△ADC的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，
同理：PN=$\frac{1}{2}$BD，
∴MN=PN，
由（1）知，四边形MNPQ是平行四边形，
∴平行四边形MNPQ是菱形；

②如图3，

连接BD，过点D作DF⊥AB于F，
∵△ADE是等边三角形，且AE=5，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{5}{2}$，
∵DF=$\sqrt{3}$EF=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵BE=4，
∴BF=EF+BE=$\frac{13}{2}$
在Rt△BFD中，根据勾股定理得，BD=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{2}$，
由①知，PN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{7\sqrt{5}}{4}$，
由①知，四边形PQMN是菱形，
∴四边形PQMN的周长=4PN=7$\sqrt{5}$．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是判断出PQ∥AC，PQ=$\frac{1}{2}$AC，解（2）的关键是判断出△AEC≌△DEB，以及构造直角三角形，是一道中等难度的中考常考题．