Question

3．定义：若点P（a，b）在函数y=$\frac{1}{x}$的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax²+bx称为函数y=$\frac{1}{x}$的一个“派生函数”．例如：点（2，$\frac{1}{2}$）在函数y=$\frac{1}{x}$的图象上，则函数y=2x²+$\frac{1}{2}x$称为函数y=$\frac{1}{x}$的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：
（1）存在函数y=$\frac{1}{x}$的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧
（2）函数y=$\frac{1}{x}$的所有“派生函数”，的图象都经过同一点，下列判断正确的是（　　）

• A． 命题（1）与命题（2）都是真命题
• B． 命题（1）与命题（2）都是假命题
• C． 命题（1）是假命题，命题（2）是真命题
• D． 命题（1）是真命题，命题（2）是假命题

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=ax²+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧即可判断．
（2）根据“派生函数”y=ax²+bx，x=0时，y=0，经过原点，即可得出结论．

解答 解：（1）∵P（a，b）在y=$\frac{1}{x}$上，
∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧，
∴存在函数y=$\frac{1}{x}$的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题．
（2）∵函数y=$\frac{1}{x}$的所有“派生函数”为y=ax²+bx，
∴x=0时，y=0，
∴所有“派生函数”为y=ax²+bx经过原点，
∴函数y=$\frac{1}{x}$的所有“派生函数”，的图象都经过同一点，是真命题．
故选C．

点评 本题考查命题与定理、二次函数的性质，理解题意是解题的关键，记住二次函数y=ax²+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧，属于基础题．