Question

14．例：如图①，平面直角坐标系xOy中有点B（2，3）和C（5，4），求△OBC的面积．解：过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．依题意，可得
S_△OBC=S_梯形BDEC+S_△OBD-S_△OCE =$\frac{1}{2}$（BD+CE）（OE-OD）+$\frac{1}{2}$OD•BD-$\frac{1}{2}$OE•CE=$\frac{1}{2}$×（3+4）×（5-2）+$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×5×4=3.5．
∴△OBC的面积为3.5．
（1）如图②，若B（3，y）、C（x，5）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上．仿照例题的解法，求△OBC的面积（用含x、y、的代数式表示）；
（2）如图③，若三个点的坐标分别为A（2，5），B（7，7），C（9，1），求四边形OABC的面积．
（3）若三个点的坐标分别A（2，2）、B（4，0）、C（-2，a），△ABC的面积为12．求a的值，

Answer 1

分析 （1）△OBC的面积等于梯形BDEC的面积+△OBD的面积-△OCE的面积即可；
（2）根据（1）的特点先求出△OAB的面积，再求出△OBC的面积，最后求和即可；
（3）分点C在第二象限和第三现象两种情况，同（2）的方法计算即可．

解答 解：（1）如图②，

过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．依题意，可得
∵B（3，y）、C（x，5）
∴S_△OBC=S_梯形BDEC+S_△OBD-S_△OCE
=$\frac{1}{2}$（BD+CE）（OE-OD）+$\frac{1}{2}$OD•BD-$\frac{1}{2}$OE•CE
=$\frac{1}{2}$×（y+5）×（x-3）+$\frac{1}{2}$×3×y-$\frac{1}{2}$×x×5
=$\frac{1}{2}$xy-$\frac{15}{2}$．
（2）如图③，连接OB，过点A作AD⊥x轴于D，点B作BE⊥x轴于E，点C作CF⊥x轴于FM

∵三个点的坐标分别为A（2，5），B（7，7），C（9，1），
∴S_{四边形OABC}=S_△OAD+S_梯形ADEB+S_梯形BEFC-S_△OFC
=$\frac{1}{2}$×2×5+$\frac{1}{2}$×（5+7）×（7-2）+$\frac{1}{2}$×（7+1）×（9-7）-$\frac{1}{2}$×9×1
=38.5，
（3）当点在第二象限时，即a＞0时，
如图4．连接OA，OC，

∵A（2，2）、B（4，0）、C（-2，a），
∴同（1）的方法得出，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×a-$\frac{1}{2}$×4×2-[$\frac{1}{2}$×（2+a）×（2+2）-$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×2×a]
∵△ABC的面积为12，
∴$\frac{1}{2}$×4×a-[$\frac{1}{2}$×（2+a）×（2+2）-$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×2×a]=12，
∴a=18，
当点在第三象限时，即a＜0时，
如图4．连接OA，OC，

∵A（2，2）、B（4，0）、C（-2，a），
∴同（1）的方法得出，
$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$×4×（-a）-[$\frac{1}{2}$（2+2）（2-a）-$\frac{1}{2}$×（2+4）×2-$\frac{1}{2}$×2×（-a）]=12，
∴a=-6，
即：满足条件的a=-6或a=18．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了平面坐标系内，几何图形的面积的计算方法，解本题的关键是由前两问找出规律求第三问．