Question

19．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和6两点之间的距离是4，数轴上表示1和-4的两点之间的距离是5．
②数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为|x+3|．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x-6|．
③若x表示一个有理数，则|x-1|+|x+4|的最小值=5．
④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x-3|=4，则满足条件的所有整数x的是-1或0或1或2或3．
⑤若x表示一个有理数，当x为3，式子|x+2|+|x-3|+|x-4|有最小值为6．

Answer 1

分析 ①数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；
②数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值；
③根据绝对值几何意义即可得出结论．
④分情况讨论计算即可得出结论；
⑤|x+2|+|x-3|+|x-4|表示数轴上某点到表示-2、3、4三点的距离之和，

解答 解：①数轴上表示2和6两点之间的距离是|6-2|=4，
数轴上表示1和-4的两点之间的距离是|1-（-4）|=5；
故答案为：4，5；
②数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为|x-（-3）|=|x+3|，
数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x-6|；
故答案为：|x+3|，|x-6|；
③根据绝对值的定义有：|x-1|+|x+4|可表示为点x到1与-4两点距离之和，根据几何意义分析可知：
当x在-4与1之间时，|x-1|+|x+4|有最小值5，
故答案为：5；
④当x＜-1时，|x+1|+|x-3|=-x-1+3-x=-2x+2=4，
解得：x=-1，
此时不符合x＜-1，舍去；
当-1≤x≤3时，|x+1|+|x-3|=x+1+3-x=4，
此时x=-1或x=0，x=1，x=2，x=3；
当x＞3时，|x+1|+|x-3|=x+1+x-3=2x-2=4，
解得：x=3，
此时不符合x＞3，舍去；
故答案为：-1或0或1或2或3；
⑤：∵可看作是数轴上表示x的点到-2、3、4三点的距离之和，
∴当x=3时，|x+2|+|x-3|+|x-4|有最小值．
∴|x+2|+|x-3|+|x-4|的最小值=|3+2|+|3-3|+|3-4|=6．
故答案为3，6．

点评 此题是绝对值题目，主要考查的是绝对值的应用，明确|x+2|+|x-3|+|x-4|的几何意义是解题的关键．