Question

如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于点O，F是线段AO上的点（与A、O不重合），∠EAF=90°，AE=AF，连接FE，FC，BF．
（1）求证：BE=BF；
（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．
①判断线段CF与BE的关系，并说明理由．
②当△BEF为等腰直角三角形时，请直接写出AB：BF的值．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）通过证明△EAB≌△FAB，即可得到BE=BF；
（2）①首先证明△AEB≌△AFC，可得CF=BE．
②由全等三角形的性质可得：∠EBA=∠FCA，进而可证明△AGC∽△KGB，因为△AGC∽△KGB，所以∠GKB=∠GAC=90°，所以∠EBF＜90°，由此可分两种情况讨论求值即可．

解答：解；（1）证明：∵AB=AC，AO⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB=45°，
∴∠EAB=∠EAF-∠BAF=45°，
∴∠EAB=∠BAF，
在△EAB和△FAB中，

AE=AF ∠EAB=∠BAF AB=AB

，
∴△EAB≌△FAB（SAS），
∴BE=BF；
（2）①CF=BE．
证明：∵∠BAC=90°，∠EAF=90°，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
在△AEB和△AFC中，

AE=AF ∠EAB=∠FAC AB=AC

，
∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴CF=BE；
②∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴∠EBA=∠FCA，
又∵∠KGB=∠AGC，
∴△AGC∽△KGB；
∴∠GKB=∠GAC=90°，
∴∠EBF＜90°，
当∠EFB=90°时，
设AE=x，
∵∠EAF=90°，AE=AF，
∴EF=

2

x，
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴BF=EF=

2

x，∠FBE=45°．
∴BE=2x
又∵∠EAF=90°，AE=AF，
∴∠AEF=45°．
∴∠AEB=90°．
∴AB=

AE2+BE2

=

5

x，
AB：BF=

5

x：

2

x=

5

：

2

．
同理，当∠BEF=90°，此时AB：BF=

5

：2．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，题目的综合性很强，难度不小，对学生的解题能力要求很高．