Question

已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA．
（1）当OC=2

2

时（如图），求证：CD是⊙O的切线；
（2）当OC＞2

2

时，CD所在直线与⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．，当D为CE中点时，求△ACE的周长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：动点型

分析：（1）直接利用勾股定理的逆定理进而得出△ODC是直角三角形，求出CD是切线即可；
（2）利用等边三角形的判定以及勾股定理分别求出AE，CO的长，进而得出答案．

解答：（1）证明：连接DO，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，CD=OA，
∴CD=OD=2，
∴DO²+CD²=CO²，
∴△ODC是直角三角形，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接EO，DO，
∵D为CE中点，CD=OA，
∴EO=DO=CD=DE，
∴△EOD是等边三角形，
∵DO=ED=CD，
∴△EOC是直角三角形，
∴∠AOE=∠EOC=90°，
∴AE=

22+22

=2

2

，OC=

EC2-EO2

=2

3

，
∴△ACE的周长为：AE+EC+AC=2

2

+4+2

3

+2=6+2

2

+2

3

．

点评：此题主要考查了勾股定理以及切线的判定等知识，得出∠EOC=90°是解题关键．