Question

8．如图，已知⊙O过正方形ABCD的顶点A、D，且与BC边相切，若⊙O的半径为1，则正方形的边长为$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 设正方形边长为a，⊙O与BC相切于点E，连接EO、OD，延长EO交AD于F，在RT△DOF中利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：设正方形边长为a，⊙O与BC相切于点E，连接EO、OD，延长EO交AD于F．
∵BC是切线，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°，
∴OF⊥AD，
∴AF=DF=$\frac{1}{2}$a，
∵∠EFD=∠FDC=∠C=90°，
∴四边形EFDC是矩形，
∴EF=CD=a，
∴OF=EF-OE=a-1，
在RT△ODF中．∵∠OFD=90°，OD=1，OF=a-1，DF=$\frac{1}{2}$a，
∴1=（a-1）²+（$\frac{1}{2}$a）²，
∴a=$\frac{8}{5}$（或0不合题意舍弃）．
∴正方形的边长为$\frac{8}{5}$．
故答案为$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，把问题转化为方程去解决，属于中考常考题型．