Question

7．如图，AD和BE是△ABC的角平分线且交于点O，连接OC，现有以下论断：
①OD⊥BC；
②∠AOC=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC；
③OA=OB=OC；
④OC平分∠ACB；
⑤∠AOE+∠DCO=90°
其中正确的有②④⑤．

Answer 1

分析 根据角平分线的性质可对①进行判断；利用三角形的角平分线相交于一点可对④进行判断；根据三角形内心的性质可对③进行判断；根据角平分线的定义和三角形的内角和可对②⑤进行判断．

解答 解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD不一定垂直BC，所以①错误；
∵AD和BE是△ABC的角平分线，
∴CO平分∠BOC，所以④正确；
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-$\frac{1}{2}$∠BAC-$\frac{1}{2}$∠BCA=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC，所以②正确；
∵点O为△ABC的内心，
∴OB、OC、OD不一定都相等，所以③错误；
∵∠AOE=∠OBA+∠OAB，
∴∠AOE+∠DCO=∠OBA+∠OAB+∠DCO=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×180°=90°，所以⑤正确．
故答案为②④⑤．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．记住三角形内角和是180°