题目内容

12．若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个整数为“劳动数”．
例如：判断210是“劳动数”的过程如下：2×2+3×1+0=7，∵7能被7整除，∴210是“劳动数”；
判断322是“劳动数”的过程如下：2×3+3×2+2=14，∵14能被7整除，∴322是“劳动数”；
（1）直接写出最小的“劳动数”为105，并请用上面的方法判断448是否为“劳动数”；
（2）试证明：所有的“劳动数”均能被7整除．

分析 （1）根据“劳动数”的定义及三位数的特点即可得出结论；
（2）先设出三位数，然后判断出此三位数除以7的商是整数即可．

解答 解：（1）∵“劳动数”是三位数，而三位数要最小，百位最小是1，十位最小是0，
设这个最小的“劳动数”为a，
由“劳动数”的定义得，1×2+3×0+a=2+a，
∴2+a能被7整除，且要最小，
∴2+a=7，
∴a=5，
∴最小的“劳动数”为 105，
故答案为：105；
∵2×4+3×4+8=28，而28能被7整除，
∴448是“劳动数”；

（2）设一个“劳动数”为$\overline{abc}$，
∴2a+3b+c能被7整除，
∴2a+3b+c是7的倍数，
∴$\frac{100a+10b+c}{7}$=$\frac{98a+2a+7b+3b+c}{7}$=$\frac{（98a+7b）+（2a+3b+c）}{\;}$=14a+b+$\frac{2a+3b+c}{7}$，
∵a，b，$\frac{2a+3b+c}{7}$是整数，
∴“劳动数”为$\overline{abc}$能被7整除．

点评 此题主要考查了三位数的表示，整除问题，新定义，解本题的关键是理解和应用新定义“劳动数”．

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