Question

17．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，B，C，D在一条直线上，连结B，E两点交AC于点M，连结A，D两点交CE于N点．
（1）AD与BE有什么数量关系，并证明你的结论．
（2）求证：△MNC是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）依据等边三角形的性质可得到BE=AD，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，然后可证明∠ACD=∠BCE=120°，依据SAS可证明△BCE≌△ACD，最后依据全等三角形的性质可得到BE=AD；
（2）证明△BCM≌△ACN，从而得到MC=CN，然后证明∠MCN=60°即可．

解答 解：（1）BE=AD．
理由：∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
∴BE=AD…（4分）
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBM=∠CAN．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACN=60°．
∴∠BCM=∠ACN，
在△BCM和△ACN中$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠CAN}\\{BC=AC}\\{∠BCM=∠ACN}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACN（ASA），
∴CM=CN；
∵∠ACN=60°，
∴△CMN是等边三角形．

点评 本题主要考查的是等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，证得△BCM≌△ACN是解题的关键．