Question

19．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，易得∠BAD=90°，AC平分∠BAD，又由PM⊥AD，PN⊥AB，即可证得四边形PMAN是正方形；
（2）由四边形PMAN是正方形，易证得△EPM≌△BPN，即可证得：EM=BN．

解答 解：
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM=PN，∠PMA=∠PNA=90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∵PM=PN，
∴四边形PMAN是正方形；
（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠EPB=90°，
∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°，
∴∠MPE=∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMA=∠PNB=90°}\\{PM=PN}\\{∠MPE=∠NPB}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM=BN．

点评 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的各种性质是证题的关键．