Question

8．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE=CF，求证：
（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABE=∠BCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，即可得出结论；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF=∠ABC=90°，判断出AE⊥BF．

解答 证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABE=∠BCF}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF；
（2）∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE+∠ABF=∠CAF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴AE⊥BF．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出AE与BF所在的三角形并证明三角形全等是解题的关键．