Question

12．已知边长为2的正方形OABC在直角坐标系中（如图），OA与y轴的夹角为30°，求点A、点C、点B的坐标．

Answer 1

分析 由OA与y轴的夹角为30°，正方形的边长，根据三角函数值可将点A和点C的坐标直接求出，将点B的坐标设出，根据点B到点A和点O的距离，列出方程组，可将点B的坐标求出．

解答 解：过点A作AM⊥y轴于点M．

∵OA与y轴的夹角为30°，OA=OC=2，
∴AM=2×sin30°=1，OM=2×cos30°=$\sqrt{3}$，
故点A的坐标为（1，$\sqrt{3}$）；
过点C作CN⊥x轴于点N．
∵OC与x轴的夹角为30°，
∴ON=2×cos30°=$\sqrt{3}$，CN=2×sin30°=1，
故点C的坐标为（-$\sqrt{3}$，1）．
设点B的坐标为（a，b），
过B作BE⊥x轴，交x轴于点E，过C作CD⊥BE，交BE于点D，如图所示：
∵OB=2$\sqrt{3}$，BD=b-1，CD=$\sqrt{3}$+a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}}\\{（a+\sqrt{3}）^{2}+（b-1）^{2}={2}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：b=$\sqrt{3}$+1（舍负值），a=1-$\sqrt{3}$，
∴点B的坐标为（1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）
∴A（1，$\sqrt{3}$）、B（1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）、C（-$\sqrt{3}$，1）．

点评 本题主要是根据三角函数值将点A和点C的值求出，在根据两点之间的距离，列出方程组可将点B的坐标求出．