Question

20．如图，在△ABC的边AB和AC的垂直平分线分别交BC于P、Q，若∠BAC=100°，则∠PAQ=20；若∠BAC+∠PAQ=150°，则∠PAQ=40°．

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AP=BP，AQ=CQ，再根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，再根据等边对等角的性质可得∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，然后代入数据进行计算即可得解．根据∠BAC+∠PAQ=150°，可得∠1+∠2+2∠PAQ=150°①，再由三角形内角和为180°可得∠B+∠C+∠1+∠2+∠PAQ=180°②，然后②-①得③，再①-③可得答案．

解答 解：∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=180°-100°=80°，
∴∠1+∠2=80°，
∴∠PAQ=100°-80°=20°；
∵∠BAC+∠PAQ=150°，
∴∠1+∠2+2∠PAQ=150°，①
∵∠B+∠C+∠1+∠2+∠PAQ=180°，②
∴②-①得：
∠B+∠C-∠PAQ=30°，③
∵∠1=∠B，∠2=∠C，
∴①-③得：∠PAQ=40°，
故答案为：40°．

点评 此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．