Question

13．如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑧的直角顶点的坐标为（$\frac{144}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

Answer 1

分析 根据勾股定理列式求出AB的长度，再利用面积法计算图②的直角顶点的纵坐标，然后根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，所以图⑧与图②的直角顶点的纵坐标相同，横坐标为两个三角形周长加OH的长．

解答 解：∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
过C作CH⊥x轴于H，如图，
∵$\frac{1}{2}$CH•5=$\frac{1}{2}$•3•4，
∴CH=$\frac{12}{5}$，
∴AH=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12，
而8=3×2+2，
∴图⑧与图②的直角顶点的纵坐标相同，都为$\frac{12}{5}$，图⑧的直角顶点的横坐标为2×12+3+$\frac{9}{5}$=$\frac{144}{5}$，
即图⑧的直角顶点的坐标为（$\frac{144}{5}$，$\frac{12}{5}$）．
故答案为（$\frac{144}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

点评 本题考查了坐标与图形变换：旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了勾股定理．