Question

14．关于x的一元二次方程x²+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y²+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m-1）²+（n-1）²≥2；③-1≤2m-2n≤1，其中正确结论的个数是3个．

Answer 1

分析 ①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m²-2n≥0以及n²-2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解．

解答 解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x₁•x₂=2n＞0，y₁•y₂=2m＞0，
y₁+y₂=-2n＜0，
x₁+x₂=-2m＜0，
这两个方程的根都为负根，①正确；
②由根判别式有：
△=b²-4ac=4m²-8n≥0，△=b²-4ac=4n²-8m≥0，
∵4m²-8n≥0，4n²-8m≥0，
∴m²-2n≥0，n²-2m≥0，
m²-2m+1+n²-2n+1=m²-2n+n²-2m+2≥2，
（m-1）²+（n-1）²≥2，②正确；
③由根与系数关系可得2m-2n=y₁y₂+y₁+y₂=（y₁+1）（y₂+1）-1，
由y₁、y₂均为负整数，故（y₁+1）•（y₂+1）≥0，故2m-2n≥-1，
同理可得：2n-2m=x₁x₂+x₁+x₂=（x₁+1）（x₂+1）-1，得2n-2m≥-1，即2m-2n≤1，故③正确，
故答案为：3个．

点评 本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是难点．