Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）若BA⊥AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）四边形AFBD是菱形，理由详见解析．

【解析】

（1）首先推知△AFE≌△DCE（AAS），则其对应边相等AF＝CD，结合已知条件AF＝BD得到：BD＝CD，即D是BC的中点；

（2）四边形AFBD是菱形．连接FD．构造平行四边形AFDC．根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形证得结论：四边形AFBD是菱形．

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．

∵E为AD的中点，

∴AE＝DE．

∴，

∴△AFE≌△DCE（AAS）．

∴AF＝CD．

∵AF＝BD，

∴BD＝CD，即D是BC的中点；

（2）四边形AFBD是菱形．理由如下：

连接FD．∵AF∥BD且AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形．

同理可证四边形AFDC是平行四边形．

∴FD∥AC．

∵BA⊥AC，

∴BA⊥FD．

∴四边形AFBD是菱形．