题目内容

【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,BE是⊙O的弦,BC是∠ABE的平分线且交⊙O于点C,连接ACCE,过点CCDBE,交BE的延长线于点D

1)∠DCE   CBE;(填”“

2)求证:DC是⊙O的切线;

3)若⊙O的直径为10sinBAC,求BE的长.

【答案】1)=;(2)见解析;(32.8

【解析】

1)由AB为⊙O的直径,得到∠ACB90°,求得∠ACB=∠D,根据角平分线的性质得到∠ABC=∠CBD,通过相似三角形得到∠BAC=∠BCD,四边形ABEC是圆内接四边形,得出∠CED=∠BAC,根据余角的性质即可证得∠DCE=∠CBE

2)连接OC,由等腰三角形的性质得出∠OBC=∠OCB,等量代换得到∠OCB=∠CBD,证得OCBD,即可证得OCCD,即可得到结论;

3)解直角三角形ABC求得BC,进而求得AC,通过三角形相似的性质得出CD4.8BD6.4,进而求得DE3.6,即可求得BE2.8

1)解:∵AB为⊙O的直径,

∴∠ACB90°

CDBE

D90°

∴∠ACB=∠D

BC是∠ABE的平分线,

∴∠ABC=∠CBD

∴△ABC∽△CBD

∴∠BAC=∠BCD

∵四边形ABEC是圆内接四边形

∴∠CED=∠BAC

∵∠DBC+BCD90°,∠ECD+CED90°

∴∠DCE=∠CBE

故答案为:=;

2)证明:连接OC

OBOC

∴∠OBC=∠OCB

∵∠ABC=∠CBD

∴∠OCB=∠CBD

OCBD

CDBD

OCCD

CD是⊙O的切线;

3)解:∵⊙O的直径为10sinBAC

sinBAC

BC8

AC6

∵△ABC∽△CBD

,即

CD4.8BD6.4

∵∠CDE=∠ACB90°,∠CED=∠BAC

∴△CED∽△BAC

,即

DE3.6

BEBDDE6.43.62.8

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