题目内容
【题目】如图1，已知抛物线
经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三点，其顶点为D，对称轴是直线
，与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图2，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①试求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
＋
（3）①S＝
；②存在，S最大值为1，E(－2，－2)
【解析】
（1）设交点式
，然后把
点坐标代入求出
即可得到抛物线解析式；
（2）利用配方法得到
，从而得到
，抛物线的对称轴为直线
，连接
交直线于
，如图1，利用两点之间线段最短得到此时
的值最小，
周长的最小值，然后利用勾股定理计算出和
即可得到周长的最小值；
（3）①如图2，先利用待定系数法求出直线
的解析式为
，设
，
，则
，则可表示出
，根据三角形面积公式，利用
得到
；
②先利用配方法得到
，然后根据二次函数的性质解决问题．
解：（1）由题意得
，解得 
∴该抛物线的表达式为
（2）∵△PBC的周长为：PB＋PC＋BC
又∵BC是定值
∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小．
∵点A，点B关于对称轴l对称．
∴连接AC交l于点P，即点P为所求点．
∴AP＝BP
∴△PBC的周长最小值是：PB＋PC＋BC＝AC＋BC
∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)
∴AC＝，BC＝
故△PBC的周长最小值为＋
（3）①∵抛物线的表达式为＝
∴点D的坐标为(－1，－4)
设直线AD的表达式为
，把点A(－3，0)，D(－1，－4)代入
得
，解得 
∴直线AD的表达式为
∵点E的横坐标为m．
∴E(m，－2m－6)，F(m，
)
∴EF＝
＝
∴S＝
＝
＝
＝
＝
∴S与m的函数表达式为S＝
②存在．
∵S＝＝
∴当m＝－2时，S最大，最大值为1．
此时点E的坐标为(－2，－2)．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会求抛物线与
轴的交点坐标；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题．
