1.解:=,=,
∴ ,选B.
3.本卷共10小题,共90分。
⒀、已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于_______________。
⒁、设,式中变量满足下列条件
则z的最大值为_____________。
⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有__________种。(用数字作答)
⒃、设函数。若是奇函数,则__________。
⒄、(本小题满分12分)
的三个内角为,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。
⒅、(本小题满分12分)
A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效。若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为。
(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;
(Ⅱ)观察3个试验组,用表示这3个试验组中甲类组的个数,求的分布列和数学期望。
⒆、(本小题满分12分)
如图,、是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。点A、B在上,C在上,。
(Ⅰ)证明⊥;
(Ⅱ)若,求与平面ABC所成角的余弦值。
⒇、(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量。求:
(Ⅰ)点M的轨迹方程;
(Ⅱ)的最小值。
(21)、(本小题满分14分)
已知函数。
(Ⅰ)设,讨论的单调性;
(Ⅱ)若对任意恒有,求的取值范围。
(22)、(本小题满分12分)
设数列的前项的和
,
(Ⅰ)求首项与通项;
(Ⅱ)设,,证明:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
C
2.第Ⅱ卷共2页,请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效。
1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
⑾、用长度分别为2、3、4、5、6(单位:)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为
A. B. C. D.
⑿、设集合。选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有
2006年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第Ⅱ卷
注意事项:
1.考生不能将答案直接答在试卷上,必须答在答题卡上.
22.解:(I)由已知得
又
是以为首项,以为公比的等比数列.
(II)由(I)知,
将以上各式相加得:
(III)解法一:
存在,使数列是等差数列.
数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
当且仅当,即时,数列为等差数列.
解法二:
由(I)、(II)知,
当且仅当时,数列是等差数列.
21.解:设椭圆方程为
(Ⅰ)由已知得
∴所求椭圆方程为 .
(Ⅱ)解法一:由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为
由,消去y得关于x的方程:
由直线与椭圆相交于A、B两点,
解得
又由韦达定理得
原点到直线的距离
.
解法1:对两边平方整理得:
(*)
∵,
整理得:
又,
从而的最大值为,
此时代入方程(*)得
所以,所求直线方程为:.
解法2:令,
则
当且仅当即时,
此时.
所以,所求直线方程为
解法二:由题意知直线l的斜率存在且不为零.
设直线l的方程为,
则直线l与x轴的交点,
由解法一知且,
解法1:
=
下同解法一.
解法2:
20.解法一:
平面,
由平面几何知识得:
(Ⅰ)过做交于于,连结,则或其补角为异面直线与所成的角,
四边形是等腰梯形,
四边形是平行四边形。
是的中点,且
为直角三角形,
在中,由余弦定理得
故异面直线PD与所成的角的余弦值为
(Ⅱ)连结,由(Ⅰ)及三垂线定理知,为二面角的平面角
二面角的大小为
(Ⅲ)连结,
平面平面,
又在中,
故时,平面
平面
又,,
以为原点,分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标为,,,,,
(Ⅰ),
。
故直线与所成的角的余弦值为
(Ⅱ)设平面的一个法向量为,
由于,,
由 得
取,又已知平面ABCD的一个法向量,
又二面角为锐角,
所求二面角的大小为
(Ⅲ)设,由于三点共线,,
由(1)(2)知:
,。
故时,平面。