6．在区间［100,200］上的正整数中,被3除余2的数的个数是 A.32 B.33 C.34 D.35 txjy——青夏教育精英家教网—

6．在区间［100,200］上的正整数中,被3除余2的数的个数是

　 A.32　　　　　　　 B.33　　　　　　　　　 C.34　　　　　　 D.35

txjy

5．要得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sin (2x+)的图象上所有的点的

A．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度

B．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度

C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度

D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度

txjy

4．数列1,，，…，的前项和为

　 A．　　　　　 B.　　　　　　 C.　　　　　　 D.

txjy

3．已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)=

　 A.-b　　　　　　　 B.b　　　　　　　 C.　　　　　　　 D.-

txjy

2．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为

　 A．2400元　　　　 B.900元　　　　　 C.300元　　　　　 D.3600元

txjy

1．已知集合M={0,1,2}，N={x|x=2a,a∈M},则集合M∩N=

A.{0}　　　　　　　 B.{0,1}　　　　　 C.{1,2}　　　　　　 D.{0,2}

txjy

(17)(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)＝(sinωx+acosωx)(a∈R，0＜ω≤1)满足：f(x)＝f(－x)，f(x－π)＝f(x+π)．

　　 (I)求f(x)的解析式；

　　 (II)若m²－4n＞0，m，n∈R，求证：“｜m｜+｜n｜＜1”是“方程[f(x)]²+mf(x)+n＝0在区间(－，)内有两个不等的实根”的充分不必要条件．

解：(I)由f(x－π)＝f(x+π)知f(x)＝f(x+2π)，即函数f(x)的周期为2π．

∵　 f(x)＝(sinωx+acosωx)＝sin(ωx+j)，其中sinj＝，cosj＝，

∴　 ≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴　 ω＝1．

又∵　 f(x)＝f(－x)，∴　 f(0)＝f()，

即 (sin0+acos0)＝(sin+acos)，解得　 a＝，∴ f(x)＝sin(x+)．

(II)显然，x∈(－，)等价于x+∈(－，)．

令u＝x+，f(x)＝t，g(t)＝t²+mt+n，则f(x)＝sinu，

由｜m｜+｜n｜＜1得｜m+n｜≤｜m｜+｜n｜＜1，∴ m+n＞－1．

同理由｜m－n｜≤｜m｜+｜n｜＜1得m－n＜1．

∴ 　g(1)＝m+n+1＞0，g(－1)＝1－m+n＞0．

又∵｜m｜≤｜m｜+｜n｜＜1，∴－∈(－1，1)．

又∵Δ＝m²－4n＞0，∴　一元二次方程t²+mt+n＝0在区间(－1，1)内有两个不等的实根．

∵　函数y＝sinu(u∈(－，))与u＝x+(x∈(－，))都是增函数，

∴　 [f(x)]²+mf(x)+n＝0在区间(－，)内有两个不等实根．

∴　 “｜m｜+｜n｜＜1”是“方程[f(x)]²+mf(x)+n＝0在区间(－，)内有两个不等实根”的充分条件．

令m＝，n＝，由于方程t²+t+＝0有两个不等的实根－，－，且－，－∈(－1，1)，

∴　方程sin²(x+)+sin(x+)+＝0在(－，)内有两个不等的实根，

但　　　　　　　　　｜m｜+｜n｜＝+＝1，

故“｜m｜+｜n｜＜1”不是“方程[f(x)]²+mf(x)+n＝0在区间(－，)内有两个不等实根”的必要条件．

综上，“｜m｜+｜n｜＜1”是“方程[f(x)]²+mf(x)+n＝0在区间(－，)内有两个不等实根”的充分不必要条件．

(18)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a^x－2－1(a＞0，a≠1).

(I)求函数f(x)的定义域、值域；

(II)是否存在实数，使得函数f(x)满足：对于区间(2，+∞)上使函数f(x)有意义的一切x，都有f(x)≥0.

(I)解：由4－a^x≥0,得a^x≤4．当a＞1时，x≤log_a4；当0＜a＜1时，x≥log_a4．

即当a＞1时，f(x)的定义域为(－∞，log_a4]；当0＜a＜1时，f(x)的定义域为[log_a4，+∞)．

令t＝，则0≤t＜2，且a^x＝4－t²，∴ f(x)＝4－t²－2t－1＝－(t+1)²+4，

当t≥0时，f(x)是t的单调减函数，∴f(2)＜f(x)≤f(0)，即－5＜f(x)≤3，

∴ 函数f(x)的值域是(－5，3]．

(II)若存在实数a使得对于区间(2，+∞)上使函数f(x)有意义的一切x，都有f(x)≥0，则区间(2，+∞)是定义域的子集．由(I)知，a＞1不满足条件；若0＜a＜1，则log_a4＜2，且f(x)是x的减函数．

当x＞2时，a^x＜a²．由于0＜a²＜1，∴t＝＞，∴f(x)＜0，即f(x)≥0不成立．

综上，满足条件的a的取值范围是Æ．

(19)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝a．

(Ⅰ)求证：直线PD⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求二面角A－PB－D的大小．

(Ⅰ)证明：∵ 在ΔPDA中，AD＝a，PD＝a，PA＝a，)

∴ AD²+PD²＝PA²，即 PD⊥AD．同理，PD⊥CD．　　　　　　　　(第19题)

又AD、CDÌ平面ABCD，ADCD＝D，∴ 直线PD⊥平面ABCD；

(Ⅱ)解：如图，连接AC和BD，设ACBD＝O．由(I)知AC⊥PD．

又 AC⊥BD，且PD、BDÌ平面PBD，PDBD＝D，

∴ 直线AC⊥平面PBD．

过点O作OE⊥PB，E为垂足，连接AE．

由三垂线定理知 AE⊥PB，∴ ∠AEO为二面角A－PB－D的平面角．

∵ AB⊥AD，由三垂线定理知 AB⊥PA，

∴ 在ΔPAB中，AE＝＝a，在ΔABD中，OA＝a，

在ΔAOE中，sin∠AEO＝＝＝，即 ∠AEO＝60^o，∴ 二面角A－PB－D为60^o．

(20)(本小题满分12分)

以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：

①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；

②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的倍；

③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润．

(I)分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格；

(II)问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？

解：设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x元/件，购买人数为kx+b(k＜0)，

则旺季的最高价格为－元/件，利润函

　　　　L(x)＝(x－100)·(kx+b)＝kx²－(100k－b)－100b，x∈[100，－]，

当x＝＝50－时，L(x)最大，由题意知，50－＝140，解得－＝180，

即旺季的最高价格是180(元/件)，则淡季的最高价格是180×＝120(元/件)．

现设淡季销售时，羊毛衫的标价为t元/件，购买人数为mt+n(m＜0)，

则淡季的最高价格为－＝120(元/件)，即n＝－120m，

利润函数L(t)＝(t－100)·(mt+n)＝(t－100)·(mt－120m)

　　　　　　　　　＝－m(t－100)·(120－t)，t∈[100，120]．

∴　　 t－100＝120－t，即t＝110时，L(t)为最大，

∴　在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．

(21)(本小题满分12分)

已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄＝28且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．

(I)求数列{a_n}的通项公式a_n；

(II)若b_n＝a_nloga_n，S_n＝b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n·2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

解：(I)设此等比数列为a₁，a₁q，a₁q²，a₁q³，其中a₁≠0，q≠0．

由题知

由②×7－①得　　　　 6a₁q³－15a₁q²+6a₁q＝0，

即　　　　　　　　　 2q²－5q+2＝0，

解得　　　　　　　　　　 q＝2或q＝．

∵ 　等比数列{a_n}单调递增，∴a₁＝2，q＝2，∴ a_n＝2·2ⁿ^-1＝2ⁿ．

(II)由(I)得　　　 b_n＝a_nloga_n＝2ⁿlog2ⁿ＝－n·2ⁿ，

∴　　　　　　　　 S_n＝b₁+b₂+…+b_n＝－(1×2+2×2²+3×2³+…+n·2ⁿ)．

设　　　　　　　　 T_n＝1×2+2×2²+3×2³+…+n·2ⁿ，　　　　　　　　③

则　　　　　　　　 2T_n＝　　　 1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n·2ⁿ⁺¹，　　　　 ④

由③－④得　　　－T_n＝1×2+1×2²+1×2³+…+1×2ⁿ－n·2ⁿ⁺¹

　　　　　　　　　　＝2ⁿ⁺¹－2－n·2ⁿ⁺¹＝－(n－1)2ⁿ⁺¹－2，

∴　　　　　　　　 S_n＝－(n－1)·2ⁿ⁺¹－2．

要使S_n+n·2ⁿ⁺¹＞30成立，即要－(n－1)·2ⁿ⁺¹－2+n·2ⁿ⁺¹＞50，

即要　　　　　　　　　　　　　 2ⁿ＞26．　　　　　　　　　　　　　　　⑤

∵　函数y＝2^x是单调增函数，且2⁴＝16＜26，3⁵＝32＞26，

由⑤得n的最小值是5．

(22)(本小题满分14分)已知F₁(－2，0)，F₂(2，0)是椭圆C的两个焦点，过F₁的直线与椭圆C的两个交点为M，N，且|MN|的最小值为6．

(I)求椭圆C的方程；

(II)设A，B为椭圆C的长轴顶点．当|MN|取最小值时，求∠AMB的大小．

解：(Ⅰ)由题意，设椭圆C的方程为+＝1(a＞b＞0)，其中c＝2，a²－b²＝4．

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．

若直线MN⊥x轴，则MN的方程为x＝－2，代入+＝1，得y²＝b²(1－)＝，

∴　 |y₁－y₂|＝，即|AB|＝．

若直线MN不与x轴垂直，则设MN的方程为y＝k(x+2)，代入+＝1，

得　　　　　　　　　+＝1，

即　　　　　　　　 (a²k²+b²)x²+4a²k²x+a²(4k²－b²)＝0．

　　　　　　 △＝(4a²k²)²－4(a²k²+b²)a²(4k²－b²)＝4a²b²[(a²－4)k²+b²]＝4a²b⁴(1+k²)，

∴　　　　 |x₁－x₂|＝，

∴　　　　 |MN|＝·＝＝·＞．

综上，|MN|的最小值为．由题知　＝6，即　 b²＝3a．

代入a²－b²＝4，得a²－3a－4＝0，解得a＝－1(舍)，或a＝4．∴　 b²＝12．

∴　椭圆C的方程为+＝1．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(－4，0)，B(4，0)．当|MN|取得最小值时，MN⊥x轴．

根据椭圆的对称性，不妨取M(－2，3)，∠AMB即直线AM到直线MB的角．

∵　 AM的斜率k₁＝＝，BM的斜率k₂＝＝－，

∴　 tan∠AMB＝＝＝－8．

∵　 ∠AMB∈(0，π)，∴　 ∠AMB＝π－arctan8．

(13)已知命题p：不等式｜x｜+｜x－1｜＞a的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2a)^x是减函数，若p，q中有且仅有一个为真命题，则实数a的取值范围是　　 [1，2)　　．

(14)计算：＝　　　．

(15)已知f(x)＝，若函数y＝g(x)的图象与y＝f^－1(x)+1的图象关于直线y＝x对称，则g(3)＝__7_．

(16)给出四个命题①函数y＝a^|x|与y＝log_a|x|的图象关于直线y＝x对称(a＞0，a≠1)；②函数y＝a^|x|与y＝()^|x|的图象关于y轴对称(a＞0，a≠1)；③函数y＝log_a|x|与log|x|的图象关于x轴对称(a＞0，a≠1)；④函数y＝f(x)与y＝f^－1(x+1)的图象关于直线y＝x+1对称，其中正确的命题是 ③　．