3. 数理问题

例8：如图10，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距，长的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动，由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上，若细线能承受的最大拉力，则从开始运动到细线断裂的时间为多少？

图10

解析：小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径逐渐变小，但小球转动的线速度大小不变。

小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，线速度不变，随着转动半径的减小，线中拉力不断增大，每转半圈的时间t不断减小。

在第一个半圆内，

在第二个半圆内，

在第三个半圆内，

在第n个半圆内，

令，得，即在第8个半圆内线还未断，n取8，经历的时间为

[模拟试题]

2. 微元问题

例7：如图9所示，露天娱乐场空中列车是由许多完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为(

)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆环前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道(车厢间的距离不计)？

图9

解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满环时的速度最小。设运行过程中列车的最小速度为v，列车质量为m，则轨道上的那部分车的质量为

由机械能守恒定律得

由圆周运动规律可知，列车的最小速率，联立解得

1. 极值问题

例6：如图8所示，用细绳一端系着的质量为的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为的小球B，A的重心到O点的距离为。若A与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围。(取)

图8

解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止--具有与转盘相同的角速度。A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O。

对于B：

对于A：，

联立解得，

所以

点评：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的(半径有变化)趋势。这时要根据物体的受力情况，判断物体受的某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。

3. 竖直面内的圆周运动

竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类(图4)。

图4

这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，所以物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

(1)弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有，即，否则不能通过最高点；

(2)弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有，，否则车将离开桥面，做平抛运动；

(3)弹力既可能向上又可能向下，如管内转(或杆连球、环穿珠)。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：a. 当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零。b. 当弹力大小时，向心力有两解；当弹力大小时，向心力只有一解；当弹力时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临界条件。

结合牛顿定律的题型

例3：如图5所示，杆长为，球的质量为，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为，求这时小球的瞬时速度大小。

图5

解析：小球所需向心力向下，本题中，所以弹力的方向可能向上也可能向下。

(1)若F向上，则，；

(2)若F向下，则，

点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。

需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清。

结合能量的题型

例4：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)，在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B，质量分别为、，沿环形管顺时针运动，经过最低点的速度都是，当A球运动到最低点时，B球恰好到最高点，若要此时作用于细管的合力为零，那么、、R和应满足的关系是　　 。

解析：由题意分别对A、B小球和圆环进行受力分析如图6所示。

对于A球有

对于B球有

根据机械能守恒定律

由环的平衡条件

而，

由以上各式解得

图6

点评：圆周运动与能量问题常联系在一起，在解这类问题时，除要对物体受力分析，运用圆周运动知识外，还要正确运用能量关系(动能定理、机械能守恒定律)。

连接问题的题型

例5：如图7所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知，，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？

图7

解析：对A、B两球组成的系统应用机械能守恒定律得

因A、B两球用轻杆相连，故两球转动的角速度相等，即

设B球运动到最低点时细杆对小球的拉力为，由牛顿第二定律得

解以上各式得，由牛顿第三定律知，B球对细杆的拉力大小等于，方向竖直向下。

说明：杆件模型的最显著特点是杆上各点的角速度相同。这是与后面解决双子星问题的共同点。

2. 水平面内的圆周运动

转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，物体与转盘间分无绳和有绳两种情况。无绳时由静摩擦力提供向心力；有绳要考虑临界条件。

例1：如图2所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的倍。求：

(1)当转盘的角速度时，细绳的拉力。

(2)当转盘的角速度时，细绳的拉力。

图2

解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则，解得

(1)因为，所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力，则物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即。

(2)因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力，由牛顿第二定律得，解得。

点评：当转盘转动角速度时，物体有绳相连和无绳连接是一样的，此时物体做圆周运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的，求出。可见，是物体相对圆台运动的临界值，这个最大角速度与物体的质量无关，仅取决于和r。这一结论同样适用于汽车在平路上转弯。

圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力(弹力的竖直分力和重力互为平衡力)。

例2：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图3中的(小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角)与线速度v、周期T的关系。(小球的半径远小于R)。

图3

解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心)，向心力F是重力G和支持力的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图3所示有

由此可得，

可见，越大(即轨迹所在平面越高)，v越大，T越小。

点评：本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。

1. 皮带传动问题

例1：如图1所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则(　　 )

A. a点与b点的线速度大小相等

B. a点与b点的角速度大小相等

C. a点与c点的线速度大小相等

D. a点与d点的向心加速度大小相等

图1

解析：皮带不打滑，故a、c两点线速度相等，选C；c点、b点在同一轮轴上角速度相等，半径不同，由，b点与c点线速度不相等，故a与b线速度不等，A错；同样可判定a与c角速度不同，即a与b角速度不同，B错；设a点的线速度为，则a点向心加速度，由，，所以，故，D正确。本题正确答案C、D。

点评：处理皮带问题的要点为：皮带(链条)上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。

4. 根据向心力公式，列牛顿第二定律方程求解。

基本规律：径向合外力提供向心力

3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向；

2. 确定圆心、半径、向心加速度方向；

1. 确定研究对象；