知识要点梳理
知识点一--匀变速直线运动的基本规律
▲知识梳理
1、匀速直线运动
在相等的时间内位移相等的直线运动叫做匀速直线运动，简称匀速运动。
(1)特点：a =0，v＝恒量。
(2)位移公式：
。
2、变速直线运动
物体在一条直线上运动，如果在相等的时间里位移不相等，这种运动叫做变速直线运动。
3、匀变速直线运动
在相等的时间内速度变化相等的直线运动叫做匀变速直线运动。
(1)特点：a＝恒量。
(2)公式：①
；②
；③
；④
说明：
①匀加速直线运动：速度随着时间增大的匀变速直线运动，叫做匀加速直线运动。
②匀减速直线运动：速度随着时间减小的匀变速直线运动，叫做匀减速直线运动。
③从加速度的角度来看，只要加速度(大小和方向)一定即为匀变速直线运动，可能是单向的直线运动，也可能是往返的直线运动。
▲疑难导析
1、对匀变速直线运动的规律的理解
速度公式：
位移公式：
速度一-位移关系式：
平均速度公式：
说明：
(1)以上四式只适用于匀变速直线运动。
(2)式中
均为矢量，应用时必须先确定正方向(通常取初速度方向为正方向)。
(3)如果选初速度方向为正方向，当a>0时，则物体做匀加速直线运动；当a<0时，则物体做匀减速直线运动。
(4)以上四式中涉及到五个物理量，在
中只要已知三个，其余两个就能求出。这五个物理量中，其中
和a能决定物体的运动性质(指做匀加速运动、匀减速运动)，所以称为特征量。x和v随着时间t的变化而变化。
(5)以上四式并不只适用于单向的匀变速直线运动，对往返的匀变速直线运动同样适用。可将运动的全过程作为一个整体直接应用公式计算，从而避免了分段计算带来的麻烦，但要对v、x、a正、负值做出正确的判断，这一点是应用时的关键。
2、对匀减速直线运动的再讨论
(1)物体做匀减速直线运动时，因为加速度a的方向与初速度的方向相反，所以在单向直线运动中速率将随时间的增加而减小。物体的速度在某时刻总会减为零，如果物体就不再运动，处于静止状态。显然在这种情况下，
中的t不能任意选取，令
，则从不难得到t的取值范围只能是
。
(2)对于单向的匀减速直线运动，可看作初速度为零的反向匀加速直线运动，就是我们常说的逆向思维法。
(3)对于能够返向的匀减速直线运动，如竖直上抛运动。特别要注意正、负号的处理及其物理意义的理解，一般选初速度方向为正方向，则加速度为负方向，对竖直上抛运动在抛出点之上的位移为正，在抛出点之下的位移为负，这一点请同学们注意。
3、匀变速直线运动常用的解题方法
匀变速直线运动的规律、解题方法较多，常有一题多解，对于具体问题要具体分析，方法运用恰当能使解题步骤简化，起到事半功倍之效，现对常见方法总结比较如下：
|
常用方法 |
规律、特点 |
|
一般公式法 |
一般公式法指速度公式、位移公式、速度和位移关系三式。它们均是矢量式，使用时注意方向性。一般以的方向为正方向，其余与正方向相同者为正，与正方向相反者取负。 |
|
平均速度法 |
定义式 对任何性质的运动都适用，而只适用于匀变速直线运动。 |
|
中间时刻速度法 |
利用“任一时间t中间时刻的瞬时速度等于这段时间t内的平均速度”即 ，适用于任何一个匀变速直线运动，有些题目应用它可以避免常规解法中用位移公式列出的含有 的复杂式子，从而简化解题过程，提高解题速度。 |
|
比例法 |
对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的五大重要特征的比例关系，用比例法求解。 |
|
逆向思维法
(反演法) |
把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法。一般用于末态已知的情况。 |
|
图象法 |
应用 图象，可把较复杂的问题转变为较为简单的数学问题解决。尤其是用图象定性分析，可避开繁杂的计算，快速找出答案。 |
巧用推论
 = － =
解题 |
匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即 ，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用 求解。 |
|
巧选参考系解题 |
物体的运动是相对一定的参考系而言的。研究地面上物体的运动常以地面为参考系，有时为了研究问题方便，也可巧妙地选用其它物体作参考系，甚至在分析某些较为复杂的问题时，为了求解简捷，还需灵活地转换参考系。 |
4、匀变速直线运动问题的解题思想
(1)解题步骤
①首先选取研究对象，由题意判断物体的运动状态，若是匀变速直线运动，则分清加速度、位移等方向如何。
②规定正方向(通常以方向为正方向)，根据题意画出运动过程简图。
③根据已知条件及待求量，选定有关规律列方程，要抓住加速度a这个关键量，因为它是联系各个公式的“桥梁”。为了使解题简便，应尽量避免引入中间变量。
④统一单位，解方程(或方程组)求未知量。
⑤验证结果，并注意对结果进行有关讨论。验证结果时，可以运用其它解法，更能验证结果的正确与否。
(2)解题技巧与应用
①要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯，特别是对较复杂的运动，画出图象可使运动过程直观，物理情景清晰，便于分析计算。
②要注意分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程依时间的先后顺序按运动性质可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段存在什么联系。
③要注意某阶段或整个过程的纵向联系。如物体不同形式的能量之间的转化是相互伴随的，两物体之间的互相作用过程，也决定了两物体之间某些物理量之间的联系。
④由于本章公式较多，且各个公式间有相互联系，因此，本章题目常可一题多解，解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方法。解题时除采用常规解法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法(如将一个匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动)等也是本章解题中常见的方法。
：质点做匀减速直线运动，在第1s内位移为6m，停止运动前的最后1s内位移为2 m，求：
(1)在整个减速运动过程中质点的位移大小；
(2)整个减速过程共用多少时间？
解析：
(1)设质点做匀减速运动的加速度大小为a，初速度为。
由于质点停止运动前的最后1 s内位移为2 m，则
，所以
质点在第1s内位移为6 m，
所以
在整个减速运动过程中质点的位移大小为
(2)对整个过程逆向考虑
，所以
。
知识点二--匀变速直线运动的几个推论
▲知识梳理
1．匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间内的位移之差是个定值
即
。
2．匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度
即
。
3．匀变速直线运动的物体，在某段位移的中间位置的瞬时速度
。
以上几个推论在实验中求物体加速度时经常用到。
4．初速度为零的匀加速直线运动(设T为相等的时间间隔)
(1)1 T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度的比值为
(2)1T末、2T末、3T末、…、nT位移的比值为
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第N个T内位移的比值为
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比值为
▲疑难导析
1、在处理末速度为零的匀减速直线运动的问题时，往往根据逆向思维将匀减速直线运动转化为初速度为零的匀加速直线运动来处理。
很多实际问题，选用上述特殊规律可以简化解题过程，因此在解决实际问题时要时刻注意利用这些结论巧妙处理问题。例一个做匀减速直线运动的物体，末速度为零，若将整个运动时间分为相等的n个T，或整个运动位移分为相等的n个x，可以得到如同初速度为零的匀加速直线运动相似的比例关系式，只是二者首尾颠倒。
2、基本公式加上这么多推论公式，应该如何选择呢？
一种方法是不管推论只选基本公式，把已知量代入基本公式求解；再一种方法是分析已知量、相关量与待求量，看这些量共存于哪个公式中，这个公式就是要选取的最合适的公式。前种方法需要列出的方程个数多，求解麻烦；后者选公式需要花点工夫，但列出的方程数目少，求解比较简便。
：一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一个人站在第1节车厢前端的站台前观察，第1节车厢通过他历时2s，全部车厢通过他历时8s，忽略车厢之间的距离，车厢长度相等，求：
(1)这列火车共有多少节车厢？
(2)第9节车厢通过他所用时间为多少？
解析：
(1)根据初速度为零的匀加速直线运动的物体，连续通过相等位移所用时间之比为：
得
所以
16，故这列火车共有16节车厢
(2)设第9节车厢通过他所用时间为
。
知识点三--自由落体运动
▲知识梳理
1、特点
初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。
2、自由落体运动运动性质
自由落体运动是一种初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动。
3、规律
。
因自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以上述运动规律只有在从开始下落立即计时的情况下适用。
4、匀变速直线运动的一些推论也适用于自由落体运动
▲疑难导析
在实际自由落体运动的问题处理中，要充分利用加速度为g和初速度为零的条件
如从楼顶自由下落的水滴经过某楼层2m高的窗子时用时0.1s，求楼顶离此窗台多高？我们就可以设水滴从楼顶到窗台时间设为t，根据位移关系有：
2m，求出t，再利用
，即可求出这个距离。
：物体从高处自由落下，通过1.75 m高的窗户所需时间为0.1 s，物体从窗底落到地面所需时间为0.2 s，则物体是从多高处下落的？
解析：因物体做自由落体运动，所以通过窗户的中间时刻的速度等于通过窗户全程的平均速度，即
m/s=17.5 m/s，物体抵达地面时的速度为
=20 m/s，物体自由下落的高度
m=20m。
知识点四--竖直上抛运动
▲知识梳理
1、竖直上抛运动
将物体以一定的初速度沿竖直方向向上抛出，物体所做的运动叫竖直上抛运动。竖直上抛运动是初速度≠0、竖直向上、加速度竖直向下的匀变速直线运动。通常以向上为正方向，则竖直上抛运动，可以看作是初速度为，加速度a＝一g的匀减速直线运动。竖直上抛运动还可以根据运动方向的不同，分为上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动。
2、竖直上抛运动的规律
(1)以抛出点为坐标原点，以方向为正方向有
(2)竖直上抛运动的对称性，即物体经过空中某一位置时上升速率与下降速率的关系
；由此位置上升到最高点所用的时间与由最高点下降到此位置所用时间的关系
。
▲疑难导析
实际问题中抛体运动的处理方法
体育运动中有许多项目涉及自由落体运动和竖直上抛运动，如跳高、跳水等。处理这类问题时，要抓住主要因素，忽略次要因素，建立物理模型。如跳水中运动员跳起后向上匀减速运动至速度为零(这一段可逆向思维为自由落体运动)，到了最高点后，再向下做自由落体运动，要注意在空中手脚位置交换以及做各种动作并不影响运动快慢。当然，实际中的阻力在这里当作次要因素忽略不计了。像这类问题是紧密联系实际的问题，这要求有透过日常生活现象认识物理本质进而解决问题的能力。
：一跳水运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举起双臂直体离开台面，此时重心位于从手到脚全长的中点。跃起后重心升高0.45m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是 s。(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10
，结果保留二位有效数字)
答案：1.7
解析：在上升过程中，根据竖直上抛运动的最大高度与初速度的关系可得运动员(质点)的初速度
3.0 m/s，在运动员离开跳台到手接触到水的全过程，质点做匀减速直线运动。取方向为正方向，运动员运动的加速度是重力加速度g，方向竖直向下，所以取负值：
10，位移大小为10 m，方向也竖直向下，故有
10 m。
利用匀变速直线运动的位移公式，即
，解得t＝1.7 s。
典型例题透析
类型一--匀变速直线运动规律的应用
描述机械运动的三个物理量x、v、a都是矢量，不仅有大小，还有方向。在直线运动中，一般规定初速度的方向为正方向，凡是与方向相同的
均为正值，凡是与方向相反的均为负值。当=0时，一般规定a的方向为正方向。因此在利用匀变速直线运动规律公式时，不仅要理解各量的物理意义，还要特别注意各量的正负(方向)。
1、骑自行车的人由静止开始沿直线运动，在第1s内通过1米、第2s内通过2米、第3s内通过3米、第4s内通过4米．则下列说法中正确的是( )
A．自行车和人做匀加速直线运动
B．第2s末的瞬时速度为2. 5 m/s
C．第3、4两秒内的平均速度为3. 5 m/s D．整个过程中加速度为1
思路点拨：虽然每秒内的位移之差相等，但是若将时间分的再小呢？就难以保证在任意相等的时间内位移差相等了。可见对基本概念的理解要准确到位。
解析：本题已明确指出骑自行车的人为初速度为零的直线运动，因此，若为匀变速直线运动，必有
，而这里对应的
。虽然在连续相等时间内位移差相等，但不是匀变速直线运动，故无法求出加速度及第2s末的瞬时速度。根据平均速度的定义可求得第3、4两秒内的平均速度为
。
答案：C
总结升华：匀变速运动是指任意相等时间内速度变化量相等的运动，也可以说成是任意连续相等时间内位移差都相等的运动。解题时注意“任意”二字，若是1秒或几秒固定的时间，则上述结论不一定成立。
举一反三
[变式]汽车自O点由静止开始在平直公路上做匀加速直线运动，途中6s时间内依次经过P、Q两根电线杆。已知P、Q相距60 m，车经过Q点时的速率为15 m/s，则
(1)汽车经过P时的速率是多少？
(2)汽车的加速度为多少？
(3)O、P两点间距离为多少？
解析：设汽车经过P点的速度为
，经过Q点的速度为
，由得
所以
5 m/s
由
得
≈1.67
由得
m。
类型二--匀变速直线运动推论妙用
(1)平均速度法
求平均速度的公式有两个：一个是定义式
，普遍适用于各种运动；
另一个是，只适用于加速度恒定的匀变速直线运动。
(2)利用
在匀变速直线运动中，第n个时间内的位移和第N个T时间内的位移之差
。
2、汽车从甲地由静止出发，沿直线运动到丙地，乙在甲、丙两地的中点。汽车从甲地匀加速度运动到乙地，经过乙地速度为60 km/h；接着又从乙地匀加速运动到丙地，到丙地时速度为120 km/h，求汽车从甲地到达丙地的平均速度。
思路点拨：本题全过程并不是一个“完整”的匀加速运动，因而不能用求解全程的平均速度。
解析：设甲丙两地距离为2 l，汽车通过甲乙两地时间为
，通过乙丙两地的时间为
。
从甲到乙是匀加速运动，由
得
从乙到丙也是匀加速运动，由得：
所以，
。
总结升华：
(1)计算平均速度常见的错误是滥用。
如将本例求解为
，
这种解法的错误是认为汽车全过程作加速度恒定的直线运动。
其实，汽车从甲地到乙地和从乙地到丙地两段的加速度并不相同，由可知，
，故对全过程不适用。
(2)物体做匀变速运动的平均速度，在时间t内的位移
，
相当于把一个变速运动转化为一个匀速运动，匀变速直线运动的物体，
在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度：
。
应用此解题会使求解更简单方便。
举一反三
[变式]两木块自左向右运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的，由图可知(
)
A．在时刻以及时刻
两木块速度相同
B．在时刻两木块速度相同
C．在时刻
和时刻
之间某瞬间两木块速度相同
D．在时刻和时刻之间某瞬间两木块速度相同
答案：C
解析：首先由图看出：上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量，可以判定其做匀变速直线运动；下边那个物体明显的是做匀速运动。由于及时刻两物体位置相同，说明这段时间内它们的位移相等，因此其中间时刻的即时速度相等，这个中间时刻显然在
之间，因此本题选C。
3、为了测定某辆轿车在干直公路上启动时的加速度(轿车启动时的运动可近似看作匀加速运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片(如图)。如果拍摄时每隔2s曝光一次，轿车车身总长为4.5m，那么这辆轿车的加速度约为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
思路点拨：利用匀变速直线运动的物体在两个相邻的相等时间间隔内的位移差
这一结论。
解析：由图中间隔及轿车长度可知，轿车在第1个2s和第2个2s内的位移分别为
=12m和
=20m，
得
。
答案：B
总结升华：本题巧妙地以实际问题为背景，把轿车在干直公路上的运动简化为物理模型(纸带问题)，考查学生的应变能力及用学科知识解决实际问题的能力。
举一反三
[变式]一个质点正在作匀加速度速直线运动，用固定在地面上的照相机对该质点进行闪光照相，闪光时间间隔为1s。分析照片得到的数据，发现质点在第1次、第2次闪光的时间间隔内移动了2m；在第3次、第4次闪光的时间间隔内移动了8m。由此可以求得( )
A．第1次闪光时质点的速度
B．质点运动的加速度
C．从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移
D．质点运动的初速度
答案：ABC
总结升华：由题意知，质点做匀加速直线运动，且=2m，
=8m，由
，即可求出质点运动的加速度a，B对；由
，即可求出第1次闪光时质点的速度
，A对；由
，即可求出从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移，C对；不知第一次闪光时质点运动的时间，无法求出质点运动的初速度。因而答案为ABC。
类型三--对实际交通工具的匀减速直线运动的处理
对于汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等这样的匀减速直线运动，它有最大运动时间
，速度减到零后，加速度也为零，物体不可能倒过来运动。显然在这种情况下，公式和中的t不能任意选取。若给出时间求位移或速度应注意先判定在这段时间内物体是否早已停止运动。
4、以速度为10m/s匀速运动的汽车在第2s末关闭发动机，以后为匀减速运动。第3s内的平均速度是9m/s，则汽车的加速度是 ，汽车在10s内的位移是 。
思路点拨：特别注意汽车关闭发动机后在8s内的运动情况：前5s匀减速运动，最后3s静止。若用公式
求解，一定要注意时间t的大小。
解析：由题意可知：物体在第3s初的速度=10m/s，第3s内的平均速度为9m/s，即第3s中间时刻的瞬时速度
＝9m/s，所以汽车的加速度为
“一”号表示a的方向与运动方向相反。
汽车关闭发动机后速度减到零所经过的时间为
，则关闭发动机后汽车在8s内的位移为：
前2s汽车匀速运动的位移为：
汽车在10s内总的位移为：
。
总结升华： 利用匀变速直线运动的规律解题时，一定要合理选择公式，可以使计算简单，减少运算量，提高解题速度。对于“刹车”问题，一定要注意从开始刹车到停止运动所需的时间，切忌不假思索直接代入求解。
举一反三
[变式]以10m/s的速度匀速行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动，若汽车刹车后第2s内的位移为6.25m(刹车时间超过2s)，则汽车刹车后6s内通过的位移是多大？
解析：设汽车刹车时的加速度为a，则有：
其中=10 m/s，
=6.25 m，=2 s，=1 s，
代入数据解得a=
汽车速度减到零所用时间
4 s<6s，即汽车在4s末停止后，剩余的2s处于静止状态，
所以刹车后6s内的位移与4s内的位移相同，即：
20 m。
类型四--“逆向思维”法的应用
逆向过程处理(逆向思维法)是把运动过程的“末端”作为“初态”来反向研究问题的方法。如物体做加速运动看成反向的减速运动，物体做减速运动看成反向的加速运动处理。该方法一般用在末状态已知的情况。若采用逆向思维方法，往往能收到事半功倍的效果。
在处理末速度为零的匀减速直线运动时，可以采用逆推法，将该运动对称地看作是加速度大小相等的初速度为零的匀加速运动，则相应的位移、速度公式以及在连续相等时间的位移之比、连续相等位移内的时间之比等结论，均可使用，采用这种方法尤其在解选择题或填空题时十分简捷。
5、运行着的汽车制动后做匀减速直线滑行，经3.5s停止，试问它在制动开始的1s内、2s内、3s内通过的位移之比多少？
思路点拨：这个运动的逆过程可看成初速度为零的匀加速运动。利用逆向思维法分析求解。
解析：如图所示，汽车从O开始制动后，1s末到A，2s末到B，3 s末到C，停止在D。
这个运动的逆过程可看成初速度为零的匀加速运动，加速度的数值等于汽车做匀减速直线运动时的加速度，如图所示。
将3.5 s等分为7个0.5 s，那么，逆过程从D 起的连续7个 0.5 s内的位移之比为1:3:5:7:9:11:13。在图中，
。
汽车从O起1s内、2s内、3s内的位移即图中的
、
、
，
所以
。
总结升华：本题若从运动基本规律入手通过代数变换求解，不够简捷。上述提供的巧解中用了两个要点：(1)运动在空间、时间上的可逆性；(2)=0的匀加速运动的特点。用=0的匀加速运动逆向代换末速度为零的匀减速运动常可简化解题过程。
举一反三
[变式]将一小物体以初速竖直上抛。若物体所受空气阻力大小不变，则小物体在到达最高点的最后一秒和离开最高点的第一秒时间内通过的路程和、速度的变化量
和
的大小关系为( )
A．
B．
C．
D．
答案：AC
解析：上升的加速度
大于下落的加速度
。根据逆向转换的方法，上升最后一秒可以看成以从零下降的最初一秒，故有
，而以下降的第一秒内有
。
，，即A、C正确。
类型五--利用自由落体运动规律解决实际问题
自由落体运动是一个初速度为零的匀加速直线运动，因此凡是初速度为零的匀加速直线运动的公式，自由落体运动都适用，用不着再去死记自由落体运动的公式。而且自由落体运动的加速度始终是已知的，它就是重力加速度。另外巧用“纸带问题”的处理方法和初速度为零的匀变速直线运动规律的推论可使问题变得简捷，在解题中应引起足够的重视。
6、“9·11”事件后，美国进行了军事打击阿富汗，在一次军事打击中，美军有一架直升飞机执行任务正停留在某一高空投运军用物资，测出空投物资自由下落过程中通过连续相等时间
s的时间间隔内，某一相邻高度分别为23.6 m、26.05 m，试确定飞机所在处的重力加速度(物资下落时不计空气阻力)
思路点拨：物资空投后，物资做自由落体运动，利用
分析求解。
解析：物资空投相当于物体做自由落体运动，即
的匀加速直线运动，根据质点做匀变速直线运动的推论：可求得所在处重力加速度
。
总结升华：本题只要求能正确建立物理模型：物资空投相当于自由落体运动，问题就明朗了。另外还要求学生熟练掌握学生实验中匀变速直线运动加速度
的测定方法：，对式中各个物理量意义要正确理解。
举一反三
[变式]1991年5月11 日的《北京日报》曾报道了这样一则动人的事迹：5月9 日下午，一位4岁小男孩从高层楼房的16层坠下，被同楼的一位青年在楼下接住，幸免于难。设每层楼高度是3m，这位青年从他所在地方冲到楼下需要的时间是1.3s，则该青年要接住孩子，至多允许他反应的时间是(g=10) ( )
A．3.0s B．1.7s C．0.4s D．1.3s
答案：B
解析：自由落体运动的时间
则反应时间
故选项B正确。
类型六--竖直上抛运动的处理方法
1．竖直上抛运动的处理方法
(1)“分段法”就是把竖直上抛运动分为上升阶段和下降阶段，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。下落过程是上升过程的逆过程。
(2)“整体法”就是把竖直上抛运动整个过程看成是一个匀变速直线运动。从全程来看，加速度方向始终与初速度的方向相反。
2．符号法则：应用公式时，要特别注意
等矢量的正负号，一般选向上为正方向，总是正值，上升过程中v为正值，下降过程中v为负值，物体在抛出点以上时h为正值，在抛出点以下时h为负值。
3．竖直上抛运动的对称性包括速度对称和时间对称
(1)速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大反向。
(2)时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等。
7、某人站在高楼的平台边缘处，以=20 m/s的初速度竖直向上抛出一石子。求抛出后，石子经过距抛出点15
m处所需的时间。(不计空气阻力，g取10)
思路点拨：石块运动到离抛出点15 m处时，石块的位置是在抛出点上方还是在抛出点下方？如果是在抛出点上方的话，是处于上升阶段还是处于下降阶段？从题意来看，石块抛出后能够上升的最大高度为
。这样石块运动到离抛出点15m处的位置必定有二个
，如图所示，因而所经历的时间必有三个。
解析：当石块在抛出点上方距抛出点15m处时，取向上为正方向，
则位移
，
代入公式，
得
化简得
解得：=1s，=3s。=1s
对应看石块上升时到达“离抛出点15 m处”时所用的时间，而= 3 s则时应着从最高点往回落时第二次经过“离抛出点15m处”时所用的时间。
由于石块上升的最大高度H=20 m，所以石块落到抛出点下方“离抛出点15 m处”时，自由下落的总高度为
，下落此段距离所用的时间
。这样石块从抛出点到第三次经过“离抛出点15m处”时所用的时间为
。
总结升华：所调“多值问题”是指答案的个数不唯一，有两个或两个以上，甚至有一个或几个系列值。竖直上抛运动的多值问题通常有下面几种：
(1)位移公式：
①当
时，表示物体在抛出点的上方。此时t有两解：小的解表示上抛物体第一次到达这一高度所用的时间；大的解表示上抛物体回落至此高度时所用的时间。
②当
时，表示物体刚抛出或抛出后落回原处，此时t有两解：一解为零，表示刚要上抛这一时刻，另一解为正数，表示上抛后又落回抛出处所用时间。
③当
时，表示物体抛出后落回抛出点后继续下落到抛出点下方的某一位置。此时t有两解：一解为正值，表示物体落到抛出点下方某处时所用时间；另一解为负位，应舍去。
(2)位移--速度公式：
在应用公式时应注意，若物体运动到抛出点上方时，物体将两次经过此处，末速度的正负两解分别表示物体向上经过此处(
)和下落时经过此处(
)。若物体落到抛出点下方h处，则h应取负值，此时解得末速度为正负两解，正解应舍去，负解表示物体经过此处时物体速度方向与上抛的初速方向相反。
举一反三
[变式]从地面同时竖直上抛甲、乙两小球，甲球上升的最大高度比乙球上升的最大高度多5.5m，甲球落地时间比乙球迟1s，不计空气阻力，求甲、乙两球抛出时的速度大小各为多少？(g取10)
解析：由最大高度公式
有
已知
5. 5 m
可得
①
又根据竖直上抛的总时间公式
有
已知
1s
可得
5 m/s ②
联立①②两式求解得
＝13.5 m/s，
=8.5 m/s。
知识要点梳理
知识点一--质点
▲知识梳理
1、质点
用来代替物体的有质量的点。
2．物体能简化为质点的条件
在所研究的问题中，物体的形状和大小对所研究运动的影响可以忽略不计时，都可视该物体为质点。一个物体能否被看成质点，与物体的大小无关。
▲疑难导析
1、对质点的理解
(1)质点是对实际物体科学的抽象，是研究物体运动时，抓住主要因素，忽略次要因素，对实际物体进行的近似，质点是一种理想化模型，真正的质点是不存在的。
(2)质点是只有质量而无大小和形状的点；质点占有位置但不占有空间。
(3)物体能简化为质点的条件：
①平动的物体通常可视为质点。所谓平动，就是物体上任意一点的运动与整体的运动有相同特点的运动，如水平传送带上的物体随传送带的运动。
②有转动，但相对平动而言可以忽略时，也可以把物体视为质点。如汽车在运行时，虽然车轮转动，若我们关心的是车辆整体的运动快慢，故汽车可看成质点。
③物体的大小和形状对所研究运动的影响可以忽略不计时，不论物体大小如何，都可将其视为质点。
2、物理学中的理想化方法、理想化模型
物理学的研究对象受许多因素的影响，如果同时考虑这诸多因素，那就无法使用数学知识达到定量研究的目的。物理学及其他许多学科，都是把非本质的次要因素找出来，加以剔除，而把本质的起主要作用的因素突出出来，在此基础上进行概括抽象，把十分复杂的问题归结为比较简单的问题进行研究，这就是物理学研究中的理想化方法。用这种方法建立起来的为代替研究对象而想象出的模型就叫做理想化模型，如“质点”就是一个典型的理想化模型。
3、物理中的“质点”与几何中的“点”的区别
(1)物理中的“质点”是一个科学抽象的“理想模型”，忽略其大小及形状，但是有质量。看成质点的物体，体积可能很大(如公转中的地球)，也可能很小(如运动的电子)。
(2)几何中的“点”是绝对的，无大小、形状和质量，仅表示在空间的位置。
：关于质点的以下说法中，正确的是( )
A．只有体积和质量很小的物体才可以看成质点
B．只要物体运动的不是很快，就可以看成质点
C．物体的大小和形状在所研究的问题中起的作用很小，可以忽略，我们就可以把它看成质点
D．质点就是一种特殊的实际物体
答案：C
解析：质点就是在研究物体的运动时忽略物体的形状和大小，而把物体看作一个有质量的点的一种“理想化模型”，物体能否被看作质点与物体的质量大小、体积大小、速度大小等均无关。
知识点二--参考系和坐标系
▲知识梳理
1．机械运动
一个物体相对另一物体的位置改变叫做机械运动，简称运动。它包括平动、转动和振动。
2．参考系
为了描述物体的运动而假定不动的物体叫做参考系。
3．常用(或默认)参考系
用牛顿第二定律计算加速度、计算动能与动量时一般选地面作为参考系。
4．坐标系
为了定量地描述物体的位置以及位置的变化需要在参考系上建立适当的坐标系。
▲疑难导析
1、对参考系的理解
(1)运动是绝对的，静止是相对的。一个物体是运动的还是静止的，都是相对于参考系而言的。
(2)参考系的选取可以是任意的。
(3)判断一个物体是运动还是静止，如果选择不同的物体作为参考系，可能得出不同的结论。
(4)参考系本身既可以是运动的物体也可以是静止的物体，在讨论问题时，被选为参考系的物体，我们常假定它是静止的。
(5)要比较两个物体的运动情况时，必须选择同一个参考系。
2、选取参考系的原则
选取参考系时，应以观测方便和使运动的描述尽可能简单为原则。一般应根据研究对象和研究对象所在的系统来决定。例如研究地球公转的运动情况，一般选太阳作为参考系；研究地面上物体的运动时，通常选地面或相对地面静止的物体为参考系；研究物体在运动的火车上的运动情况时，通常选火车为参考系。
在今后的学习中如不特别说明，均认为是以地球作为参考系，即常用(或默认)参考系：用牛顿第二定律计算加速度、计算动能与动量时一般选地面作为参考系。
：以下说法正确的是(
)
A．参考系就是不动的物体
B．任何情况下，只有地球才是最理想的参考系
C．不选定参考系，就无法确定某一物体是怎样运动的
D．同一物体的运动，对不同的参考系可能有不同的观察结果
答案：C
D
解析：要描述一个物体的运动，首先要选取参考系。参考系是假定不动的物体，不一定就真的不动。参考系的选取是任意的，一般应根据研究对象和研究对象所在的系统来决定。选取的参考系不同，对同一个物体运动情况的描述一般不同，因此，不选定参考系，就无法确定某一物体是怎样运动的。
3、巧选参考系，可能使问题简化
同样一个物体的运动，选不同的参考系，运动情况区别很大。
：一船顺水行驶到某桥下时，船上有一木箱落水，1小时后才发现，以原行驶速度逆水返回寻找，在桥下游1 km处找到。求：
(1)用多长时间寻找才找到木箱？
(2)水流速度是多大？
解析：
(1)选水为参考系，因船航行速度相同，箱对水静止，船对水和木箱来回距离相同，所以用时相同，用1小时找到。
(2)
km/h =0.5 km/h。
4、常见坐标系
(1)直线坐标系：物体沿直线运动，要确定物体的运动情况需建立直线坐标系。建
立直线坐标系时，必须确定原点，规定正方向、设定单位长度(标度)，如图。
(2)平面直角坐标系：研究物体在某一平面内运动时需建立平面直角坐标系。
如图所示，a、b、c三点有相同的横坐标，A、B、C三点有相同的纵坐标。
由图可知，如果仅仅确定某点的横坐标或纵坐标，该点的位置并不能唯一确定。如果同时确定某点的横坐标和纵坐标，则该点位置唯一确定。
(3)多维坐标系(如三维立体空间坐标系)：当物体在三维空间运动时，则需要建立三维立体空间坐标系来描述物体的运动情况。
：如图所示的直线坐标系中，试确定物体在A、B、C三点的位置以及由A点到B点
和由B点到C点的位置变化。
解析：物体在A、B、C点的位置分别为：
=2 m、
=4 m、
=－2 m
由A点到B点的位置变化：4m－2m=2 m
由B点到C点的位置变化：－2 m－4 m=－6 m。
知识点三--时间与时刻
▲知识梳理
1、时刻
时间轴上一个确定的点，是事物运动、发展变化过程所经历的各个状态的先后顺序的标志。如8时45分、第2秒末、第3秒初等都是指时刻，且第2秒末和第3秒初属于同一时刻。
2、时间
时间轴上的一段间隔，也是时间轴上两个不同的时刻之差。时间是事物运动发展变化过程长短的量度。
▲疑难导析
时间与时刻的区别
|
|
意义 |
时间轴表示 |
对应运动量 |
通常说法(举例) |
|
时刻 |
一瞬间 |
轴上一点 |
位置、瞬时速度、瞬时加速度 |
第几秒末、第几秒初、第几秒时 |
|
时间 |
一段时间，两时刻间隔 |
轴上一段 |
位移、平均速度、速度变化 |
前(头)几秒内，后几秒内、第几秒内 |
特别提醒：平常所说的“时间”，有时指时刻，有时指时间间隔，例如：上午第一节课下课时间是8时45分，第二节课上课时间是8时55分，中间是10分钟课间休息时间。这三句话中前两个“时间”都是指时刻，第三个“时间”指时间间隔。
：以下的计时数据指时间的是( )
A．中央电视台新闻联播节目19:00开播
B．某人用15s跑完100 m
C．某场足球赛开赛15 min时甲队先进一球
D．天津开往德州的625次列车于13:55从天津发车
答案：B
解析：选项A、C、D中的数据都是指时刻，而选项B中的15s是与跑完100m这一段过程相对应，是指时间。
知识点四--位移和路程
▲知识梳理
1、路程
路程是指质点实际运动轨迹的长度。路程只有大小，是一个标量，可能是直线也可能是曲线，还可能是折线。
2、位移
表示质点位置改变的物理量，是矢量，既有大小，又有方向。它可以用一条自初始位置指向末了位置的有向线段表示。位移的大小等于质点始末位置间的距离，表示位置变动了多少。位移的方向由初位置指向末位置，表示位置向哪个方向变化。
位移只决定于初、末位置，与运动路径无关。
位移是过程量，与一段时间相对应。
3、矢量和标量
既有大小又有方向的物理量，叫矢量，如速度、位移、力。
只有大小没有方向的物理量，叫标量，如路程、时间、时刻等。
▲疑难导析
位移和路程的区别和联系
|
|
概念 |
区别 |
联系 |
|
位移 |
位移是表示质点的位置变化的物理量
它是质点由初位置指向末位置的有向线段，是矢量 |
位移是矢量，是由初始位置指向终了位置的有向线段；路程是质点运动所通过的实际轨迹的长度。一般情况下，路程不等于位移的大小。 |
在单向直线运动中，路程等于位移的大小 |
|
路程 |
路程是质点运动轨迹的长度，是标量 |
：关于位移和路程，下列说法正确的是( )
A．沿直线运动的物体，位移和路程是相等的
B．质点沿不同的路径由A到B，其路程可能不同而位移是相同的
C．质点通过一段路程，其位移可能是零
D．质点运动的位移大小可能大于路程
答案：BC
解析：沿直线运动的物体，若有往复运动时，其大小不相等。若没有往复运动，也只能说位移的大小等于路程，但不能说位移等于路程，因为位移是矢量，路程是标量。在有往复的直线运动和曲线运动时，位移的大小是小于路程的，位移只取决于始末位置，与路径无关，而路程是与路径有关的。
知识点五--速度
▲知识梳理
1、速度
(1)定义：位移跟发生这段位移所用时间的比值叫做速度，速度是表示物体运动快慢的物理量。
(2)公式：
。
(3)单位：m/s，km/h，cm/s等。
(3)矢量性：速度是矢量，其大小在数值上等于单位时间内物体位移的大小，其方向就是物体运动的方向。
2、平均速度
(1)定义：物体的位移与发生这段位移所用时间的比值，叫做物体运动的平均速度。
(2)公式：。
(3)物理意义：平均速度表示运动物体在某一段时间内的平均快慢程度，只能粗略地描述物体的运动。
(4)矢量性：平均速度是矢量，有大小和方向，它的方向与物体位移方向相同。
(5)对应性：做变速运动的物体，不同时间(或不同位移)内的平均速度一般是不同的，因此，平均速度必须指明是对哪段时间(或哪段位移)而言的。
3、瞬时速度
(1)定义：运动物体在某一时刻(或某一位置)的速度。
在公式中，如果时间t非常短，接近于零，表示的是某一瞬时，这时的速度称为瞬时速度。
(2)矢量性：瞬时速度有大小、方向，方向就是物体此时刻的运动方向，即物体运动轨迹在该点的切线方向。
(3)物理意义：瞬时速度是精确地描述物体运动快慢和运动方向的物理量。
▲疑难导析
1、关于平均速度和瞬时速度的理解
在匀速直线运动中，由于速度不变，即x跟t的比值
不变，平均速度与瞬时速度相同，即既是平均速度，也是物体各个时刻的瞬时速度。在变速直线运动中，，随x或t的选取的不同而不同，而且是反映这段位移上的平均速度，它只能粗略地描述这段位移上运动的平均快慢程度。对做变速直线运动的物体，在它经过的某个位置附近选取很小一段位移，如果在上物体是匀速的，那么这段位移上的平均速度与这段位移上各个时刻的瞬时速度相等。即定义为：物体在这一位置的速度等于在这一位置附近取一小段位移，与经过这段所用时间
的比值，当趋近于0时，
。
2．平均速度与平均速率的混淆
平均速度是指质点通过的总位移与所用时间的比值，方向与位移的方向相同；而平均速率是指质点通过的总路程与所用时间的比值，是标量。在处理复杂过程的问题时，一定要弄清位移和路程以及它们所对应的时间，以免出错。
：如图所示，一质点沿直线AB运动，先以速度v从A匀速运动到B，接着以速度2v沿原路返回到A，已知AB间距为s，求整个过程的平均速度和平均速率。
解析：整个过程的总位移x=0，所以整个过程的平均速度为0
整个过程质点通过的总路程为2s，所用时间为
所以平均速率为
。
知识点六--加速度
▲知识梳理
1、定义
物体速度的变化(
)与完成这一变化所用时间(t)的比值，叫做物体的加速度。
式中表示速度的变化量，如果用表示开始时刻的速度(初速度)，v表示经过一段时间t后末了时刻的速度(末速度)，则
。
2、定义式
3、单位
在国际单位制中，加速度的单位是，读作米每二次方秒。
4、物理意义
加速度是表示速度变化快慢的物理量。
5、矢量性
加速度既有大小，也有方向，是矢量，加速度a的方向与速度的变化的方向相同，与速度方向没有必然联系。
在直线运动中，通常选取物体初速度方向为正方向。当末速度
时，加速度a是正值，表明加速度方向与初速度方向相同，物体在加速；当
时，加速度a是负值，表明加速度a的方向与初速度方向相反，物体在减速。
▲疑难导析
对加速度的理解
加速度不是速度的增加，加速度是描述速度变化快慢与变化方向的物理量。
加速度与速度无关。只要速度在变化，无论速度多大，都有加速度；只要速度不变化(匀速)，无论速度多大，加速度总是零；只要物体速度变化快，无论速度是大、是小、还是零，加速度就越大。
加速度大小是用来描述速度变化快慢的，只与速度的变化跟发生这一变化所用时间的比值
有直接关系，而与速度的变化无直接关系。物体有了加速度，经过一段时间速度有一定变化，因此速度的变化是一个过程量，它的大小与具体的物理过程密切相关。因此a大，不一定大；反过来，大，a也不一定大。
物体有一定大小的加速度，加速度的方向不同，物体运动情况(轨迹、速度方向)也不相同，当加速度方向与速度方向平行时，物体做直线运动；当加速度方向与速度方向不平行时，物体做曲线运动；当加速度方向与速度方向一致时，物体做加速直线运动；当加速度方向与速度方向相反时，物体做减速直线运动。因此，物体的速度是增大还是减小，视加速度与速度方向关系而定。
：如图所示，一辆汽车以72
km/h的速度在平直公路上行驶，司机突然发现前方公路上有一只小鹿，于是立即刹车，汽车在4s内停了下来，使小鹿免受伤害。假设汽车刹车过程中做匀减速直线运动，试求汽车刹车过程中的加速度。
解析：刹车过程中，汽车的初速度=72 km/h =20 m/s，末速度v=0，运动时间t=4 s．
根据加速度的定义式，得刹车过程中的加速度
式中的负号表示汽车的速度在减小，即刹车后汽车的速度平均每秒减小5 m/s。
典型例题透析
类型一--对参考系的理解
参考系的选取虽然具有任意性，但在结合物理情景的具体选项中是唯一的，要在熟练掌握参考系概念的基础上，做好理解、辨别。
1、有这样的词句“满眼风波多闪烁，看山恰似走来迎，仔细看山山不动，是船行。”其中“看山恰似走来迎”和“是船行”所选的参考系分别是( )
A．船和山 B．山和船 C．地面和山 D．河岸和流水
思路点拨：明确参考系概念和定义方式，是解题关键。
解析：船中乘客观看其它物体的运动情况时，是以自己所乘的船为参考系的，故能出现“看山恰似走来迎”的景象，“是船行”是以相对山不动的河岸或地面等为参考系的，故正确选项为A。
答案：A
总结升华：不管是静止的物体还是运动的物体都可以被选作参考系，但是，一旦被选为参考系后均认为是静止的，这也说明静止是相对的。
举一反三
[变式]甲物体以乙物体为参考系是静止的，甲物体以丙物体为参考系又是运动的，那么，以乙物体为参考系，丙物体的运动情况是
( )
A．一定是静止的 B．一定是运动的
C．运动或静止都有可能 D．条件不足，无法判断
答案：B
解析：根据机械运动描述的相对性，可知选项B正确。
类型二--位移和路程
位移是矢量，只关心初、末位置，方向由初位置指向末位置，解答位移问题时，不要忘记说明方向；路程是标量，关心的是运动轨迹。
2、一支队伍匀速前进，通信员从队尾赶到队首传达命令后又立即返回40 m到达队尾时，队尾已前进了200 m，在整个过程中，通信员共用了40s，则全过程中通信员通过的路程是多少？位移为多少？平均速度大小为多少？
思路点拨：画出通信员运动示意图是解题关键。
解析：如图所示，轨迹为通信员所通过的路程，可见通信员所通过的路程为280 m；位移x=200 m，同队伍前进方向相同。平均速度
。
总结升华：一般地说，位移的大小不等于路程。在一个运动过程中，位移的大小不大于相应的路程，只有质点做方向不变的直线运动时，位移的大小才等于路程，且仅仅是大小相等，绝对不能认为位移就是路程，任何情况下两者都不可混淆。
举一反三
[变式]如图所示，小球从距地面5m高处落下，被地面反向弹回后，在距地面2m
高处被接住．则小球从高处落下到被接住这一过程中通过的路程和位移的大小分别是( )
A．7m，7m
B．5m，2m
C．5m，3m
D．7m，3m
答案：D
提示：注意初、末位置，画运动示意图。
类型三--瞬时速度与平均速度的区别与联系
1．瞬时速度对应物体运动的某一位置或某一时刻，平均速度对应物体运动的一段过程。平均速度的大小一般不等于初末速度的平均值，只有在匀变速直线运动中，平均速度的大小才与初末速度的平均值相等。
2．平均速度的常用计算方法有：
(1)利用定义式，这种方法适合于任何运动形式。
(2)利用，只适用于匀变速直线运动。
(3)利用(即某段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度)，也只适用于匀变速直线运动。
3、甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同时驶向同一目标，甲车在前一半时间内以速度做匀速直线运动，后一半时间内以速度
做匀速直线运动；乙车在前一半路程中以速度做匀速直线运动后，后一半路程中以速度做匀速直线运动，则( )
A．甲先到达 B．乙先到达 C．甲、乙同时到达 D．不能确定
思路点拨：注意数学不等式
的应用。
解析：设甲、乙从某地到目的地距离为x，则对甲车有
；
对于乙车有
，所以
，
由数学知识知
．故
，即正确答案为A。
答案：A
总结升华：瞬时速度对应物体运动的某一位置或某一时刻，平均速度对应物体运动的一段过程。
举一反三
[变式]下列所说的速度中，哪些是平均速度？哪些是瞬时速度？
(1)百米赛跑的运动员以9.5m/s的速度冲过终点线；
(2)经过提速后列车的速度达到150 km/h；
(3)由于堵车，在隧道内的车速仅为1.2m/s；
(4)返回地面的太空舱以8m/s的速度落入太平洋中；
(5)子弹以800m/s的速度撞击在墙上。
答案：(1)(4)(5)为瞬时速度；(2)(3)为平均速度
类型四--对加速度的理解和应用
速度、速度变化量、加速度都是矢量，解题时易在方向上出现错误。直线运动问题解决的方法：先规定某一方向为正方向，若已知量方向和规定正方向相同，记为正；相反，记为负。若求解的未知量结果为正，表示和规定的正方向相同；若结果为负，表示和规定的正方向相反。矢量的正负只表示方向，不表示大小。
4、计算下列运动物体的平均加速度的大小。
(1)万吨货轮起航，10s内速度增到0.2 m/s
(2)火箭发射时，10s内速度能增到约
m/s
(3)以8 m/s的速度飞行的蜻蜓，能在0.7 s内停下来
(4)以8 m/s的速度行驶的汽车，在急刹车时2. 5 s内能停下来
思路点拨：根据加速度的定义式
分析计算。
解析：(1)货轮起航时的加速度大小为
(2)火箭发射时的加速度大小为
(3)蜻蜓停下来时的加速度大小为
(4)汽车刹车时的加速度大小为
总结升华：加速度也称为“速度变化率”，表示在单位时间内的速度变化量，反映了速度变化的快慢及方向。
举一反三
[变式]如图所示是汽车的速度计，某同学在汽车中观察速度计指针位置的变化。开始时指针指示在如图甲所示位置，经过8s后指针指示在如图乙所示位置，若汽车做匀变速直线运动
，那么它的加速度约为( )
A．11 B．5. 0
C．1. 4 D．0. 6
答案：C
解析：将已知条件代入
，并注意单位的转换即得出选项C正确。
类型五--速度v、速度变化量、加速度a的区别
1．速度是运动状态量，对应于某一时刻(或某一位置)的运动快慢和方向。
2．速度变化是运动过程量，对应于某一段时间(或发生某一段位移)，
若取为正，则
表示速度增加，
表示速度减小，
表示速度不变。
3．加速度也称为“速度变化率”，表示在单位时间内的速度变化量，
反映了速度变化的快慢及方向。
4．加速度a与速度v无直接联系，与也无直接联系，v大，a不一定大；大，a也不一定大。
如飞机飞行的速度v很大，a也可能等于零；列车由静止到高速行驶，其速度变化量很大，
但经历时间也长，所以加速度并不大。
5、下列所描述的运动中，可能的有( )
A．速度变化很大，加速度很小
B．速度变化方向为正，加速度方向为负
C．速度变化越来越快，加速度越来越小
D．速度越来越大，加速度越来越小
思路点拨：速度变化很大，根据
，如果很大，a可以很小，故A选项是正确的；，其中与a的方向一致，故B选项是错误的；速度变化越来越快，即越来越大，也就是加速度越来越大，故C选项是错误的；因速度的大小与加速度大小无直接关系，故D选项是正确的．
答案：AD
总结升华：解决概念和规律性问题，最好将文字转化为物理公式或字母。例如速度变化越来越快就是越来越大，也就是加速度a越来越大。
举一反三
[变式]下列关于速度和加速度的说法正确的是( )
A．物体运动的速度改变越大，它的加速度一定越大
B．物体运动的加速度为零，它的速度也为零
C．物体运动的速度改变越小，它的加速度一定越大
D．加速度的大小是表示物体运动速度随时间变化率的大小
答案：D
解析：由知：大，a不一定大；同理，小，a也不一定小，a的大小取决于与的比值，故A、C错，D对。物体做加速度为零的运动时，其速度不变，但不一定为零，所以B错。
：一束红光射向一块有双缝的不透光的薄板，在薄板后的光屏上呈现明、暗相间的干涉条纹。现在将其中一条窄缝挡住，让这束红光只通过一条窄缝，则在光屏上可以看到(
)
A．与原来相同的明暗相间的条纹，只是明条纹比原来暗些
B．与原来不同的明暗的条纹，而中央明条纹变宽些
C．只有一条与缝宽相对应的明条纹
D．无条纹，只存在一片红光
答案：B
解析：本题要考查学生对发生明显衍射条件的理解，及单缝衍射图样特点的认识，能够比较双缝干涉图样和单缝衍射图样的异同点。本题中这束红光通过双缝时，产生了干涉现象，说明每一条缝宽都很窄，满足这束红光发生明显衍射的条件，这束红光通过双缝在光屏上形成的干涉图样的特点是：中央出现明条纹，两侧对称出现等间隔的明暗相间条纹。而这束红光通过单缝时形成的衍射图样的特点是：中央出现较宽的明条纹，两侧对称出现不等间隔的明暗相间条纹，且距中央明条纹远的明条纹亮度迅速减小，所以衍射图样看上去明暗相间的条纹数量较少，本题正确选项是B项。
知识点三--光的偏振
▲知识梳理
1．光的偏振
自然光是指在垂直于光的传播方向上，各个方向强度相同。偏振光是指在垂直于光的传播方向的平面上，只沿某个特定方向振动。
光的偏振现象说明光波是横波。
2．偏振光的产生方式
偏振光的产生方式是通过两个共轴的偏振片观察自然光，第一个偏振片的作用是获得偏振光，叫起偏器，第二个偏振片的作用是检验光是否为偏振光，叫检偏器．
特别提醒：光的偏振理解：
(1)光波的感光作用和生理作用主要是由电场强度E引起的，因此将E的振动称为光振动。
(2)自然光：太阳、电灯等普通光源直接发出的光，包含垂直于传播方向上沿一切方向振动的光，而且沿各个方向振动的光波的强度都相同，这种光叫自然光。
(3)偏振光：自然光通过偏振片后，在垂直于传播方向的平面上，只沿一个特定的方向振动，叫偏振光。自然光射到两种介质的界面上，如果光的入射方向合适，使反射和折射光之间的夹角恰好是
，这时，反射光和折射光就都是偏振光，且它们的偏振方向互相垂直。我们通常看到的绝大多数光都是偏振光(如图)。
▲疑难导析
1．偏振光是怎样产生的
(1)偏振光的产生方式
自然光通过起偏器，通过两个共轴的偏振片观察自然光，第一个偏振片的作用是把自然光变为偏振光，叫起偏器，第二个偏振片的作用是检验光是否为偏振光，叫检偏器。
其实，偏振片并非刻有狭缝，而是具有一种特性，即存在一个偏振方向，只让平行于该方向振动的光通过，其他振动方向的光被吸收了。
自然光射到两种介质的交界面上，如果光入射的方向合适，使反射光和折射光之间的夹角恰好是
和
为双缝，P是光屏上的一点，已知P点与
m，今分别用A、B两种单色光在空气中做双缝干涉实验，问P点是亮条纹还是暗条纹？
(1)已知A光在折射率为n=1.5的介质中波长为
m。
(2)已知B光在某种介质中波长为
m，当B光从这种介质射向空气时，临界角为
。
(sin
思路点拨：已知P点与
，在介质中波长为
，
由
，得
根据光程差
m，所以
。
由此可知，从
是波长
得
由此可知，B光在空气中波长
为
由光程差
的关系
，可见，用B光作光源，P点为亮条纹。
(3)若让A光和B光分别照射
时，增透膜起到对该种色光增透的作用。
m的绿光在垂直表面入射时使反射光干涉相消，求所涂的这种增透膜的厚度？
思路点拨：
(1)薄膜干涉是利用了光在空气膜前后表面的反射光叠加形成的。
(2)增透膜的厚度为某种色光在膜中波长的
，在增透膜中的波长为
即
，那么增透膜厚度
。
总结升华：本题易出现的错误是由于不理解薄膜干涉形成原因导致错误判断或不能将真空中光的波长换算为增透膜中的波长。
举一反三
[变式]如图甲所示，在一块平板玻璃上放置一平凸薄透镜，在两者之间形成厚度不均匀的空气膜，让一束单一波长的光垂直入射到该装置上，结果在上方观察到如图乙所示的同心内疏外密的圆环状干涉条纹，称为牛顿环。以下说法正确的是(
)
A．干涉现象是由于凸透镜下表面反射光和玻璃上表面反射光叠加形成的
B．干涉现象是由于凸透镜上表面反射光和玻璃上表面反射光叠加形成的
C．干涉条纹不等是因为空气膜厚度不是均匀变化的
D．干涉条纹不等是因为空气膜厚度是均匀变化的
答案：AC
解析：薄膜干涉中的“薄膜”指的是两个玻璃面之间所夹的空气膜，故选项A是正确的，B是错误的。两列波的光程差满足一定的条件：如两列波的光程差是半波长的偶数倍，形成明条纹；如两列波的光程差是半波长的奇数倍，形成暗条纹，明暗条纹间的距离由薄膜的厚度决定，膜厚度不均匀，则干涉条纹不等距，故选项C是正确的，D不正确。
题型三--光的偏振
光的偏振充分说明光是横波，只有横波才有偏振现象。
除了从光源直接发出的光以外，我们通常见到的大部分光都是偏振光。
例如自然光射到两种介质的界面上，调整入射角的大小，使反射光与折射光的夹角是
,这一角度
思路点拨：由题知，转动B使到达O处的光最强，则A、B的偏振方向必相同，若在A、B间放入待检糖溶液，因糖溶液对偏振光有旋光效应，使来自A的偏振光经过样品后，偏振方向发生改变，则到达O处的光强度会明显减弱，若适当把A或B旋转
角振动的光
答案：ABD
解析：当光的振动方向与偏振光的方向平行时，透光最强；垂直时，无光透过；若为某一角度时，有部分光透过。而太阳光是自然光，沿各个方向的振动都存在，因此A、B、D选项正确。
第三部分 光的粒子性 物质波
知识要点梳理
知识点一--黑体辐射理论
▲知识梳理
1．热辐射
一切物体都在辐射电磁波，辐射与物体的温度有关。
2．黑体
能够完全吸收入射的各种波长的电磁波而不发生反射。
3．能量子
普朗克认为振动着的带电微粒的能量只能是某一最小能量值
的整数倍。当带电微粒辐射或吸收能量时，也以这个最小能量值为单位一份一份地辐射或吸收。这个不可再分的最小能量值
，h为普朗克常量，
是电磁波的频率。
▲疑难导析
黑体辐射的实验规律
如图所示，由图可知：随着温度的升高，①各种波长的辐射强度都会增加；②辐射强度的极大值向波长较短的方向移动。
，这些能量子为光子。
②逸出功(
)：使电子脱离某金属表面所做的功的最小值。
③数学表达式：
3、康普顿效应
在散射光中，波长变长的现象。
特别提醒：光电效应和康普顿效应揭示了光的粒子性。
▲疑难导析
1．光电效应实验规律
电路图如图所示：
(1)存在饱和光电流
在光照不变时，所加电压增大，光电流增大、当电流增大到一定值时，即使电压再增大，电流也不再增大，达到一个饱和值。如图所示。入射光越强，饱和光电流越大，说明入射光越强，单位时间内发射光电子数越多。
(2)存在着遏止电压和截止频率
使光电流减小到零的反向电压
称为遏止电压。
，
为光电子的最大初速度，同一频率的光，遏止电压相同，与光强弱无关。入射光的频率减小到某一值
时，
时，无论光多微弱，也会产生光电效应，光电子的发射时间不超过
s。
2．光电效应解释中的疑难
经典电磁理论只能解释：光越强，光电流越大。
按照光的经典电磁理论，还应得出如下结论：
①光越强，光电子的初动能应该越大，所以遏止电压
与入射光的频率
时，才有光电子逸出，
就是光电效应的截止频率。
(2)电子一次性吸收光子的全部能量，不需要积累能量的时间，光电流几乎是瞬时发生的。
(3)光强较大时，包含的光子数较多，照射金属时产生的光电子数越多，因而饱和电流越大。
4．经典电磁理论对解释康普顿效应中遇到的困难
光是电磁振动的传播，入射光将引起物质内部带电微粒的受迫振动，振动着的带电微粒从入射光中吸收能量，并向四周辐射，这就是散射光。散射光的频率应等于带电粒子受迫振动的频率，即入射光的频率。所以散射光的波长与入射光的波长应相同，不应出现
的散射光。
5．用光子说十分成功地解释了康普顿效应
X射线的光子不仅具有能量
，也具有动量
，与晶体中的电子碰撞，要遵守能量和动量守恒定律。当入射的光子与电子碰撞时，损失一部分动量给电子，动量变小，由
，波长
。
3．概率波
光波是一种概率波。光子落在明纹处的概率大，落在暗纹处的概率小。个别光子表现出粒子性，大量光子表现出波动性。
4．不确定性
，h为普朗克常量，
表示粒子位置的不确定量，
表示粒子在x方向上的动量的不确定量。
▲疑难导析
光的本性学说发展史上的五个学说
(1)牛顿的微粒说：认为光是高速粒子流。它能解释光的直进现象、光的反射现象。
(2)惠更斯的波动说：认为光是某种振动，以波的形式向周围传播。它能解释光的干涉和衍射现象。
(3)麦克斯韦的电磁说：认为光是电磁波。实验依据是赫兹实验证明了光与电磁波在真空中传播速度相等且均为横波。
(4)爱因斯坦的光子说：认为光的传播是一份一份的，每一份叫一个光子，其能量与它的频率成正比，即
知，对于某种金属，其逸出功是一个定值。当入射光频率一定时，光子的能量是一定的，产生的光电子的最大初动能也是一定的，若提高入射光的频率，则产生光电子的最大初动能也将增大，因此A选项正确。
要想使某种金属发生光电效应，必须使入射光的频率大于其极限频率
。因刚好发生光电效应时，光电子的初动能为零，有
，所以
，又
。若入射光频率
，即
时才能发生光电效应，因而选项D正确。
同一频率的光照射到不同的金属上时，因不同金属的逸出功不同一，则产生的光电子的最大初动能也不相同，逸出功越小，即电子越容易摆脱金属的束缚，电示脱离金属表面时获得的动能越大，因而C选项错误。
若入射光的频率不变，对于特定的金属，增加光强，不会增加光电子的最大初动能。但由于光强的增加，单位时间内照射金属的光子数目增多，因而产生的光电子数目也随之增多，光电流增大，因而B选项正确。
题型二--光电效应方程及其有关计算
(1)求解光电子的最大初动能
依据爱因斯坦的“光子说”，金属中每一个电子只能吸收照射光的一个光子的能量，且无积累过程。电子能否成为光电子，就看电子所吸收的光子的能量大小了。若电子吸收光子能量后足以克服金属离子对电子的吸引力而逸出，则电子就能成为光电子，多余的能量转化为光电子的动能
，若上式中的“
，这就是爱因斯坦的“光电效应方程”。
(2)求解极限频率
光照射金属，金属表面的电子吸收光子的能量，然后利用此能量来克服金属离子对电子的引力，此功为逸出功“
，即
。
试作出
图象，并通过图象求出：
(1)这种金属的截止频率；
(2)普朗克常量。
思路点拨：由光电子最大初动能
及爱因斯坦光电效应方程
，对于一定的金属，
是常量。所以
的直线。
(1)U=0对应的频率
Hz
(2)在图中选取两个与直线偏离最小的点，即表中第1列和第5列数据，
由它们计算直线的斜率
已知
，因而可以求得普朗克常量
。
总结升华：光照射金属，金属表面的电子吸收光子的能量，然后利用此能量来克服金属离子对电子的引力，此功为逸出功“
答案：ABC
解析：光电子的最大初动能
，
，可求
求出
，不能求出电子的质量。
题型三--光的波粒二象性和物质波
波动性和粒子性是微观粒子本身矛盾的统一，不能孤立地认识任一方面。物质波的波长
，p为粒子的动量。对宏观物体来讲，因其动量p较大，故其波长很小，波动性极不明显。
。若某激光管以P=60 W的功率发射波长
和光子的能量
，
即
得
个
(2)对光子由动量定理
，得
N，
由牛顿第三定律知黑体表示所受作用力
N。
总结升华：个别光子表现为粒子性，大量光子的行为表现为波动性；频率大的光子粒子性明显，而频率小的光子波动性明显。
举一反三
[变式]关于物质的波粒二象性，下列说法中不正确的是(
)
A．不仅光子具有波粒二象性，一切运动的微粒也具有波粒二象性
B．运动的微观粒子与光子一样，当它们通过一个小孔时，都没有特定的运动轨道
C．波动性和粒子性，在宏观现象中是矛盾的、对立的，但在微观高速运动的现象中是统一的
D．实物的运动有特定的轨道，所以实物不具有波粒二象性
答案：D
解析：光具有波动性是微观世界具有的特殊规律：大量光子运动的规律表现出光的波动性，而单个光子的运动表现出光的粒子性；光的波长越长，波动性越明显，光的频率越高，粒子性越明显，而宏观物体的德布罗意波的波长太小，实际上很难观察到波动性，不是不具有波粒二象性，D项符合题意。
题型四--概率波和不确定关系
(1)粒子位置的不确定性
单缝衍射现象，入射的粒子有确定的动量，但它们可以处于档板左侧的任何位置，也就是说，粒子在档板左侧的位置是完全不确定的。
(2)粒子动量的不确定性
微观粒子具有波动性，会发生衍射。大部分粒子到达狭缝之前沿水平方向运动，而在经过狭缝之后，有些粒子跑到投影位置以外。这些粒子具有了与其原来运动方向垂直的动量。由于哪个粒子到达屏上的哪个位置是完全随机的，所以粒子在垂直方向上的动量也具有不确定性，不确定量的大小可以由中央亮条纹的宽度来衡量。
(3)位置和动量的不确定性关系：
由
。粒子的位置测定精确了，但衍射范围会随
更大)所以C、D也是正确的。
答案：ABCD
总结升华：
是描述光的粒子性的。
实验步骤
1．把白纸用图钉钉在木板上。
2．在白纸上画一条直线
作为界面，画一条线段AO作为入射光线，并过O点画出界面
，如图所示：
3．把长方形的玻璃砖放在白纸上，使它的一个边跟
。
4．在AO线段上竖直地插上两枚大头针
和
。
5．在玻璃砖的
，用眼睛观察，调整视线，要使
，使
与
，连接
，
，折射角
。
8．用量角器量出入射角和折射角的度数。
9．从三角函数表中查出入射角和折射角的正弦值，记入自己设计的表格里。
10．用上面的方法分别求出入射角是
时的折射角，查出入射角
的值比较一下，看它们是否接近一个常数，求出几次实验中所测
，据此可知，用刻度尺测出MK、QP的长度，即可求出折射率n。
误差分析
误差的主要
1．确定入射光线、出射光线时的误差。故入射侧、出射侧所插两枚大头针间距离宜大点。
2．测量入射角与折射角时的误差。故入射角不宜过小，但入射角也不宜过大，过大则反射光较强，出射光较弱。
注意事项
1．玻璃砖要厚，用手拿玻璃砖时，只能接触玻璃毛面或棱，严禁用玻璃砖当尺子画界面。
2．入射角应在
到
之间。
3．大头针要竖直插在白纸上，且玻璃砖每一侧两枚大头针
甲同学测得的折射率与真实值相比 ________(填“偏大”、“偏小”或“不变”)
乙同学测得的折射率与真实值相比________(填“偏大”、“偏小”或“不变”)
丙同学测得的折射率与真实值相比________。
思路点拨：用图①测定折射率，玻璃中折射光线偏转大了，所以折射角增大，折射率减小；用图②测折射率时，只要操作正确，与玻璃砖形状无关；用图③测折射率时，无法确定折射光线偏见偏折的大小，所以测得的折射率可大、可小、可不变。
答案：偏小；不变；可能偏大，可能偏小，可能不变
解析：甲同学所测折射率的光路如图
，因为
，所以
。
乙同学使用梯形玻璃砖不影响折射率的测定。丙同学做测量时，因出射点不确定，故测量值与真实值无法确定大小关系。
总结升华：本题主要考查考生处理实验数据和分析实验误差的能力。
举一反三
[变式]如图所示，某同学用插针法测定一半圆形玻璃砖的折射率。在平铺的白纸上垂直纸面插大头针
。图中MN为分界面，虚线半圆与玻璃砖对称，B、C分别是入射光线、折射光线与圆的交点，AB、CD均垂直于法线并分别交法线于A、D点。
(1)设AB的长度为
(常量)，即若两连续相等的时间间隔里的位移之差为恒量，则与纸带相连的物体的运动为匀变速直线运动。
2．由纸带求物体运动加速度的方法
(1)用“逐差法”求加速度
即根据
(T为相邻两计数点间的时间间隔)求出
，再算出平均值即为物体运动的加速度。
(2)用
求出打第n点时纸带的瞬时速度，然后作出
2．把细绳的一端固定在小车上，跨过滑轮后在另一端挂上适量的钩码，让纸带穿过打点计时器的限位孔后一端固定在小车上，用手拉住小车。
3．先接通电源，后放开小车，让小车运动，这样打点计时器就在纸带上打下一系列点，取下纸带，更换新纸带，至少重复3次。
4．选打点清晰的纸带进行研究，舍去开头比较密集的点，确定好计数始点，每隔4个计时点取一个计数点，使时间间隔为T=0.1s。
5．用毫米刻度尺量出各计数点之间的距离
。用逐差法计算加速度的值，最后求其平均值(计算出各计数点对应的瞬时速度，作出
=7.05cm、
=7.68cm、
=8.33cm、
=8.95cm、
=9.61cm、
=10.26cm，则A点处瞬时速度的大小是_______m/s，小车运动的加速度计算表达式为________________，加速度的大小是_______ 
思路点拨：本题考查
和
的应用。
解析：
总结升华：这类题要把所给的数据尽量多地用上，如用逐差法求加速度等。容易犯的错误就是只用其中的几组数据，造成数据处理的误差。
举一反三
[变式]研究匀变速直线运动的实验中打出的纸带如图所示，图中的A、B、C、D、E均为计数点，相邻两计数点之间均包含5个自然打点间隔，测量计数点间距时，用刻度尺的零刻度线与纸带上的起始点O对齐，由A至E各点对应的刻度值分别为7.00、11.10、17.20、25.20和35.10(单位：cm)。根据纸带，求：
(1)物体运动的加速度；
(2)打出C、D点时纸带速度各为多大?
解析：由图可知：相邻两计数点的间距分别为
＝4.1cm，
＝6.1cm，
＝8.0cm，
＝9.9cm，
所以在实验误差允许的范围内
(1)
(2)瞬时速度：
。
(1)根据所提供纸带上的数据，计算打c段纸带时小车的加速度大小为 
。
解析：
(1)采用逐差法求加速度
，这样做的目的是减小偶然误差。
(2)在打c段时小车做匀减速运动，说明物体已落地，由纸带上的数据可以判断在b段纸带中的
区间可能出现最大速度
(3)设重物质量为m，小车质量为M，根据牛顿第二定律
则有
由此可得
答案：(1)5.0
(2)
解析：
(1)小车沿斜面匀加速下滑，而从B到C和从C到D的时间间隔相等，所以C点即为BD段的时间中点，所以C点的瞬时速度等于BD的平均速度，即
(2)处理纸带数据，由逐差法可求得加速度a, 
(3)以小车为研究对象，受力分析，列出牛顿第二定律方程可得，
为斜面倾角)，而
，可求出
。 3．解答此类问题的关键条件
两物体能否同时到达空间某位置，因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系来处理。其中速度关系特点是关键，它是两物体间距最大或最小，相遇或不相遇的临界条件。
▲疑难导析
一、分析追及、相遇问题时要注意的事项
1．分析问题时，一定要注意抓住一个条件、两个关系：一个条件是两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。两个关系是时间关系和位移关系，时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，这对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益。
2．若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动。
3．仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多””、“至少”等，根据它们对应的临界状态分析相应的临界条件。
二、用
图象解决追及问题
|
类型 |
图象 |
特点 |
|
一、匀加速追匀速 |
 |
能追及且只能相遇一次交点意义：速度相等，两物体相距最远。 |
|
二、匀速追匀减速 |
 |
|
|
三、匀加速追匀减速 |
 |
|
|
四、匀减速追匀速 |
 |
当两物体速度相等时，如果 ，则恰好追上，这也是避免相撞的临界条件，只相遇一次；若 ，则不能追上，交点意义：速度相等时距离最近；若 ，则相遇两次。设 时刻第一次相遇，则 时刻第二次相遇。 |
|
五、匀速追匀加速 |
 |
|
|
六、匀减速追匀加速 |
 |
说明：
(1)表中的
是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；
(2)
是开始追及以前两物体之间的距离，在一、二、三中把
看作追及的时刻；
(3)
；
(4)
是前面物体的速度，
是后面物体的速度。
由上表可看出，追及问题可分类，一类(如表一、二、三)是可以随时间无限增加；另一类(如表四、五、六)是到速度相等时受到限制。
：A、B两辆汽车在平直公路上朝同一方向运动，如图所示为两车运动的图象
。下面对阴影部分的说法正确的是( )
A．若两车从同一点出发，它表示两车再次相遇前的最大距离
B．若两车从同一点出发，它表示两车再次相遇前的最小距离
C．若两车从同一点出发，它表示两车再次相遇时离出发点的距离
D．表示两车出发时相隔的距离
答案：A
解析：在图象中，图象与时间轴所包围的图形的面积表示位移，两条线的交点为二者速度相等的时刻，若两车从同一点出发，则题图中阴影部分的面积就表示两车再次相遇前的最大距离，故A正确。
典型例题透析
类型一--对x-t图象的应用
对位移--时间图象
，许多同学错误地认为是质点的实际运动轨迹。而导致这种错误的原因是未理解图象的物理意义，因此对图象要时刻牢记：
1．无论图象是直线还是曲线，质点的运动都是直线运动。
2．图象的斜率是判断质点运动状态的关键因素。斜率为零说明质点静止；斜率恒定为匀速运动；斜率变化说明速度在变化；斜率的正负表示质点运动方向的不同。
1、如图所示，甲、乙、丙、丁是以时间为轴的匀变速直线运动的图象，下列说法正确的是( )
A．甲是a-t图象 B．乙是x－t图象
C．丙是x－t图象 D．丁是v-t图象
思路点拨：本题考查位移、速度、加速度等几个物理量与时间的关系，以及图象的有关知识。
答案：C
解析：匀变速直线运动的加速度恒定，其速度随时间均匀变化，故AD错；由匀变速直线运动的位移－时间的关系
可看出，图象C是
＝0时的位移--时间图象，故C对B错。
总结升华：本题涉及了匀变速直线运动的规律及图象的知识。此部分既是基础知识，又是重点知识，考生在复习过程中就熟练掌握。
举一反三
[变式]甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B地。又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快，若某人离开A地的距离x与所用时间t的函数关系用图中的四个函数图象表示，则甲、乙两人的图象只可能是( )
A．甲是①，乙是② B．甲是①，乙是④ C．甲是③，乙是② D．甲是③，乙是④
答案：B
解析：前一段位移甲的速度比乙的速度大，故甲的图象的斜率较大；后一段位移甲的速度比乙的速度小，故甲的图象的斜率较小，而且前一段甲的斜率应大于后一段乙的斜率。
类型二--通过对图象分析获取信息
从图象可获取物体运动的信息有：
1．物体运动的快慢(速度大小)--对应纵轴数值；
2．物体运动的方向--t轴上方为正方向，t轴下方为负方向；
3．运动速度的变化--图象对应的v的数值变化可以看出运动快慢的变化；
4．加速度大小及变化--图象斜率大小即加速度大小(
)。斜率变大，则a变大；反之，则a变小；斜率不变，则是加速度不变的匀变速直线运动；
5．物体运动的位移--图象和坐标轴围成的图形的面积大小。
2、两辆游戏赛车
、
在两条平行的直车道上行驶。
时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。它们在四次比赛中的
图如图所示。哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆( )
思路点拨：本题主要考查了图象的特点。解题的关键在于对图象要有所了解，知道其特点，不要与图象相混。
答案：AC
解析：在图象中，图线和坐标轴包围的面积，在数值上等于位移的大小。若要一辆车追上另一辆车，位移应该相等，在图象中，面积应该相等，所以AC正确。
总结升华：该题考查了追及问题及对图象的理解。解决该题也可以采用公式法，但太复杂。
举一反三
[变式]某人在静止的湖面上竖直上抛一小铁球，小铁球上升到最高点后自由下落，穿过湖水并陷入湖底的淤泥中一段深度。不计空气阻力，取向上为正方向，在下边图象中，最能反映小铁球运动过程的速度--时间图线是( )
答案：C
思路点拨：小球竖直上抛后，在上升过程，速度减小，到最高点时速度等于零，下降时速度增大，进入水中后，因受到水的阻力，加速度减小，但速度仍增大，进入淤泥后，淤泥对球的阻力大于小球的重力，故向下减速运动，直到速度为零，由以上分析知，选项C正确。
类型三--图象问题的实际应用
利用图象解题，第一要做的是确切理解图象的物理含义，第二要善于从图象中获取信息，而首先要考虑的是图象的斜率、围成的面积所表示的物理量。(图象包括
等)
3、有一行星探测器，质量为1800
kg，现将探测器从某一行星的表面
竖直升空，探测器的发动机推力恒定。发射升空后9s末，发动机因发生故障突然熄火。图是从探测器发射到落回地面全过程的速度图象，已知该行星表面没有大气，若不考虑探测器总质量的变化。求：
(1)该行星表面附近的重力加速度大小；
(2)发动机正常工作时的推力；
(3)探测器落回星球表面时的速度。
思路点拨：给定图象，可以从图象的斜率求得各段时间内的加速度，从而根据牛顿第二定律可求得作用力。
解析：
(1)由图象可知9-45 s内行星探测器只在行星重力作用下运动。
故其运动的加速度a=4
即为行星表面的重力加速度。
(2)取探测器研究。在0-9s内，
由牛顿第二定律得
解得F= 2
N。
(3)由上升位移与下落位移相等得
解出：v=80 m/s。
总结升华：图象和图象不能描述曲线运动的规律。因为在图象和图象中，v、x轴上的正、负只能描述同一直线上的两个方面，所以无法描述曲线运动。同时，对匀变速直线运动来说，其轨迹为直线，但其图线却是曲线，因此，在利用图象法处理运动学问题时，千万不要把图象或图象中的直线或曲线误认为是物体运动的轨迹。
举一反三
[变式]2005年我国成功地发射了我国历史上的第二艘载人宇宙飞船--“神舟六号”。飞船于2005年10月12日9时在中国酒泉卫星发射基地用长征2号F运载火箭发射成功。假设火箭在大气层竖直升空的过程中，发动机的推力不变，空气的阻力也认为不变，则在火箭冲出大气层前这一过程中，其图象是下列图中的( )
答案：D
解析：此题结合牛顿第二定律考查对图象的理解，火箭在大气层竖直升空的过程中，火箭受的竖直向上的推力不变，因为空气的阻力也不变，而火箭质量在不断减小，所以火箭的加速度将逐渐增大。图A表示速度不变，为匀速运动，图B表示初速度不为零的匀加速运动，图C表示初速度为零的匀加速运动，只有D图表示初速度为零加速度逐渐增大的加速运动，所以D正确。
类型四一--追及与相遇问题
1．解追及、相遇问题的思路
(1)根据对两物体运动过程的分析，画出物体运动的示意图。
(2)根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是关键。
(4)联立方程求解，并对结果进行简单分析。
2．解决追及、相遇问题的方法
大致分为两种方法：一是物理分析法，即通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解；二是数学方法，因为在匀变速直线运动的位移表达式中有时间的二次方，我们可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解，也可以借助图象分析。
4、在水平直轨道上有两车A和B相距x，A车在后面做初速度为、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度应满足什么条件。
思路点拨：要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与B车速度相等。设A、B两车从相距x到A车追上B车时，A车的位移为
，末速度为
，所用时间为t；B车的位移为
，末
速度为
，运动过程如图所示，从而得到位移关系
。
解析：利用位移公式、速度公式求解：
对A车有
对B车有
两车有
追上时，两车刚好不相撞的临界条件是
以上各式联立解得
。
故要使两车不相撞，A的初速度应满足的条件是
。
总结升华：本题中，若B车做初速度为的匀速直线运动，两车不相遇的条件是什么？
答案：
。
举一反三
[变式]a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图象如图所示，
下列说法正确的是( )
A．a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度
B．20s时，a、b两物体相距最远
C．60s时，物体a在物体b的前方
D．40s时，a、b两物体速度相等，相距200 m
答案：C
解析：a、b加速时，a的加速度
b的加速度
，故A错。
20 s时，a的速度为40 m/s，b的速度为零，在以后的运动中，两者距离仍增大，B错。
60 s时，
a的位移
b的位移
，所以C对。
40 s时，a的位移
b的位移
两者相距
，D错。
知识要点梳理
知识点一--直线运动的图象
▲知识梳理
一、直线运动的x-t图象
1．图象的意义
图象表示运动的位移随时间的变化规律。
匀速直线运动的图象，是一条倾斜直线。速度的大小在数值上等于图象的斜率的绝对值，
即
， 如图所示：
2．图象的理解
(1)图象不是物体实际运动的轨迹。
(2)从图象上判断物体的运动性质。
①图线平行于时间轴，表示物体静止；
②图线是倾斜直线，表示物体做匀速直线运动；
③图线是曲线，表示物体做变速直些运动。
(3)图象的斜率表示物体的速度，匀速直线运动斜率不变。
(4)图象的交点：如果两物体在同一直线上运动，其图象的交点表示两物体相遇。
二、直线运动的v-t图象
1．匀速直线运动的图象
(1)匀速直线运动的图象是与横轴平行的直线。
(2)由图象不仅可以求出速度的大小，而且可以求出位移大小(即图中画有斜线部分的面积)。
2．匀变速直线运动的图象
(1)匀变速直线运动的图象是一条倾斜直线，如图所示。
(2)直线斜率的大小等于加速度的大小，即
。斜率越大，则加速度也越大，反之，则越小。
(3)当> 0时，若直线的斜率大于零，则加速度大于零，表示加速运动；若直线的斜率小于零，则加速度小于零，表示减速运动。
▲疑难导析
一、对匀变速直线运动图象的理解
1．图象能准确、全面地反映速度v随时间t的变化及其规律，图象符合客观要求。
2．图线是直线，表示物体做匀变速直线运动(一条倾斜的直线)或匀速直线运动(一条平行于t轴的直线)；图线是曲线，则表示物体做非匀变速直线运动。
3．图线过坐标原点表示物体做初速度为零的匀变速直线运动，图线不过坐标原点，有两种情况：
(1)图线在纵轴(v轴)上的截距，表示运动物体的初速度；
(2)图线在横轴(t轴)上的截距表示物体在开始计时后过一段时间才开始运动。
4．两图线相交(如图所示)，说明两物体在交点时刻的瞬时速度相等，其交点的横坐标表示两物体达到速度相等的时刻；纵坐标表示两物体达到速度相等时的速度。
5．图线与横轴(t轴)交叉，表示物体运动的速度反向。
6．图线与坐标轴所围梯形面积的大小等于物体在该段时间内的位移大小
。
另外，在用图象分析问题时还应当注意不论图象的形状如何(直线或曲线)，反映的都是直线运动。这是由于坐标轴只能有正负两个方向的原因。
二、x-t图象与v-t图象的比较
图甲、乙两图以及下表是形状一样的图线在图象与图象中的比较．
|
图 |
图 |
|
①表示物体做匀速直线运动
(斜率表示速度v) |
①表示物体做匀加速直线运动
(斜率表示加速度a) |
|
②表示物体静止 |
②表示物体做匀速直线运动 |
|
③表示物体静止在原点O |
③表示物体静止 |
④表示物体向反方向做匀速直线运动；
初位置为 |
④表示物体做匀减速直线运动；初速度为 |
|
⑤交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位置 |
⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度 |
⑥时间内物体位移为 |
⑥时刻物体速度为(图中阴影部分面积表示质点在0-时间内的位移) |
F，三木块共同向右匀速运动，已知三木块的重力都是G，分别对三木块进行受力分析。
[解析]先从受力情况最简单的A开始分析。A受力平衡，竖直方向受向下的重力G, B对A的支持力
=G；水平方向不受力，如图 (a)。然后依次向下分析，B木块也受力平衡，竖直方向受三个力作用，重力G、A对B的压力
=G，C对B的支持力
=2G、水平方向受两个力，水平向右的恒力F，和与之平衡的水平向左的静摩擦力
=F，如图 (b)，C木块受力平衡，竖直方向受三个力作用：重力G，B对C的压力
=
2G，桌面对C的支持力
=3G；水平方向受两个力，水平向右的静摩擦力
=F，桌面对C的向左的滑动摩擦力
=
F，如图 (c)所示。
知识点二--共点力作用下物体的平衡
▲知识梳理
1．共点力的平衡条件
在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即
或
、
。
2．解题方法
当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用 下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下 平衡时，往往采用正交分解法。
3．解共点力平衡问题的一般步骤
(1)选取研究对象。
(2)对所选研究对象进行受力分析，并画出受力图。
(3)对研究对象所受力进行处理一般情况下需要建立合适的直角坐标系，用正交分解法处理。
(4)建立平衡方程，若各力作用在同一直线上，可直接用
和
列方程；
(5)解方程，求出结果，必要时还应进行讨论。
四、解答平衡问题常用的物理方法
1．隔离法与整体法
隔离法 为了弄清系统(接连体)内某个物体的受力和运动情况，一般可采用隔离法。运用隔离法解题的基本步骤是：
(1)明确研究对象或过程、状态；
(2)将某个研究对象、某段运动过程或某个状态从全过程中隔离出来；
(3)画出某状态下的受力图或运动过程示意图；
(4)选用适当的物理规律列方程求解。
整体法 当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的力和运动时，一般可采用整体法。运用整体法解题的基本步骤是：
(1)明确研究的系统和运动的全过程；
(2)画出系统整体的受力图和运动全过程的示意图；
(3)选用适当的物理规律列方程求解。
隔离法和整体法常常需交叉运用，从而优化解题思路和方法，使解题简捷明快。
2．图解法分析动态平衡问题
所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，利用图解法解决此类问题的基本方法是：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中做出物体在若干状态下的平衡力图(力的平行四边形简化为三角形)，再由动态的力四边形各边长度变化及角度变化确定力的大小及方向的变化情况。
3．临界状态处理方法-假设法
某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态，平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要破坏、而尚未破坏的状态。解答平衡物体的临界问题时可用假设法。运用假设法解题的基本步骤是：
(1)明确研究对象；
(2)画受力图；
(3)假设可发生的临界现象；
(4)列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解。
面成
①
②
解①②式 得 
,
。
典型例题透析
类型一--如何进行受力分析
对物体进行受力分析，是解决力学问题的基础，是研究力学问题的重要方法，它贯穿于整个力学乃至整个教材之中，在整个高中物理学习的全过程中占有极重要的地位。
1．受力分析的步骤：
(1)明确研究对象--确定受力物体；
(2)隔离物体分析--将研究对象从周围物体中隔离出来，进而分析周围有哪些物体对它施加力；
(3)画出受力分析-边分析边将力一一画在受力图上，准确标明各力的方向；
(4)分析受力的顺序--先重力，后弹力，再摩擦力，然后分析其他的作用力。
2．受力分析的方法：(1)整体法，隔离法；(2)假设法。
体m，且M、m相对静止，试分析小车受哪几个力的作用？
思路点拨：对M和m的整体进行分析，它们必受到重力和地面的支持力。由于小车静止，由平衡条件知墙面时小车必无作用力。以小车为研究对象，如图所示，它受四个力：重力Mg，地面的支持力
。由于m静止，
可知
下滑，试分析A的受力情况。
解析：以A为研究对象，根据力的产生条件，可知它受到重力
作用；由于它与B和斜面相互接触并挤压，于是受到B的压力
和斜面支持力
的作用；又因物体A沿斜面匀速下滑，所以它的下表面还受到斜面对它的摩擦力
和支持力
这一对平衡力作用，不可能在水平方向上再受到摩擦力作用，如图(a)所示，由力的作用的相互性可知，A对B无摩擦力作用，则B对A也无摩擦力作用，所以物体A共受四个力作用，其受力图如图(b)所示。
类型二--用图解法处理物体的动态平衡问题
当物体受三个力而平衡，其构成的矢量三角形中一个力大小、方向都不变，另一个力的方向不变，当判断由第三个力的大小和方向变化引起的变化时可用图解法。
OB绳拉力的变化情况，正确的是( )
A．OA绳上的拉力一直在增大
B．OA绳上的拉力先增大后减小
C．OB绳上拉力先减小后增大，最终比开始时拉力大
D．OB绳上拉力先减小后增大，最终和开始时相等
思路点拨：本题有两种解法--解析法和图解法，解析法是由平衡条件找出OA绳、OB绳拉力与某一角度的函数关系，根据角度的变化，判断绳拉力的变化，此法固然严谨，但演算较繁，解析法多用于定量分析，图解法直观、鲜明，多用于定性分析。
解析：对O点受力分析如图所示，因O点静止，两绳拉力的合力
不变，
一直增大，
答案：AD
总结升华：本题为三力的动态平衡问题，对学生分析问题、解决问题的能力有了更高的要求，是高考热点。
举一反三
[变式]如图所示，小球用细绳系住放在倾角为
向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将( )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
答案：D
解析：先用数学方法解，设细绳向上偏移过程中的某一时刻，绳与斜面支持力N的夹角为
∴
讨论：当
时，
当
时，
当
时，
类型三--相似三角形法在平衡问题中的应用
如果在对力利用平行四边形定则(或三角形定则)运算的过程中，力三角形与几何三角形相似，则可根据相似三角形对应边成比例等性质求解。
况是( )
A．N变大，T变小
B．N变小，T变大
C．N变小，T先变小后变大
D．N不变，T变小
思路点拨：本题考查相似三角形法在平衡问题中的应用。
解析：可将图甲进一步画成图甲，设球面半径为R，BC=h，AC=L，AO=
，选小球为研究对象，小球受三个力的作用而平衡，重力G，半球的支持力N，绳的拉力T，力的矢量三角形如图乙所示，由于它和△COA相似，可得
∴ 
因h、R、G、
答案：D
总结升华：物体受三个力而平衡，当三个力构成的矢量三角形因角度未知无法用正弦定理求解时，可优先考虑在边长已知的前提下用相似三角形法。
举一反三
[变式]如图所示，竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A，在Q的正上方的P点用丝线悬挂另一质点B， A、B两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成
电使A、B两质点的带电量逐渐减小。在电荷漏完之前悬线对悬点P的拉力大小( )
A．保持不变
B．先变大后变小
C．逐渐减小
D．逐渐增大
答案：A
解析：对带电小球受力分析，利用力三角形与几何三角形相似列出比例式子，既可得出答案为A。
类型四--正交分解法在平衡问题中应用
正交分解法是解平衡问题最常用的方法，尤其是当物体受三个以上的力(不含三个)时，正交分解法更具有优越性，其关健是合理选取坐标及沿坐标轴方向列平衡方程。
思路点拨：在受力分析的基础上，对物体的受力进行正交分解，根据力的平衡条件列平衡方程求解。
解析：如图所示，平衡时用
，以及
分别表示两边绳的拉力、长度
以及绳与水平面之间的夹角，
因为绳与滑轮之间的接触是完全光滑无摩擦的，由此可知
①
由水平方向力的平衡可知
，即
②
由题意与几何关系知
③
④
由③④式得
⑤
由竖直方向力的平衡可知
⑥
由⑤⑥可得
。
总结升华：正交分解法是解决共点力平衡问题的一般方法，应用正交分解法一般应注意以下几点：
(1)该方法不受研究对象、所受外力多少的限制；
(2)关于坐标轴的选取，原则上是任意的，就是说选择不同的坐标轴并不影响运算的结果。但具体应用时又以解题方便的坐标系为最佳选择，例如在静力学问题中一般选含外力多的方向为一个坐标轴的方向，而在动力学问题中一般选加速度或初速度方向为一个坐标轴的方向。
举一反三
[变式]如图所示，小球质量为m，两根轻绳BO、CO系好后，将绳固定在竖直墙上，在小球上加一个与水平方向夹角为
足什么条件？
解析：小球受力如图所示，根据物体平衡条件
在水平方向上
①
在竖直方向上
②
联立①②得
③
④
BO伸直的条件为
由③得
CO伸直的条件为
由④得
故力F的大小应满足的条件为
。
类型五--共点力平衡中的临界与极值问题
1．临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理童的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰能”等语言叙述。
解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。
2．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
解决这类问题的方法常用：
(1)解析法：即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
(2)图解法：即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200 N，轻杆能承受的最大压力为300
N。则在B点最多能挂多重的物体？
思路点拨：本题重点考查假设推理法解决临界问题。先假设轻杆承受的压力达到最大值300
N，根据平衡条件及有关知识列方程求解，看一看满足还是不满足要求？再假设细绳的拉力达到最大值200 N，根据平衡条件及有关知识列方程求解，看一看满足还是不满足要求？
解析：B点受力分析如图所示。
将
分别分解为
与
方向的
与
所以：若
N
N＜200 N，满足要求。
若
OB和硬杆OA的重力，
，如果钢索OB最大承受拉力为
N，求：
(1)O点悬挂物的最大重力；
(2)杆OA对O点的最大支持力。
解析：
(1)如图所示，对O点进行受力分析，则有
由以上两式得
当
N
(2)
当
N。知识要点梳理
知识点一--力的合成
▲知识梳理
1．合力与分力
当一个物体受到几个力的共同作用时，我们常常可以求出这样一个力，这个力产生的效果跟原来几个力的共同效果相同，这个力就叫做那几个力的合力，原来的几个力叫做分力。
2．力的合成
求几个力的合力的过程或求合力的方法，叫做力的合成。
3．平行四边形定则
两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个法则叫做平行四边形定则。
4．共点力
如果一个物体受到两个或更多力的作用，有些情况下这些力共同作用在同一个点上，或者虽不作用在同一个点上，但它们的延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力。
5．合力与分力的关系
合力与分力是等效替代关系。
▲疑难导析
一、合力与分力
合力和它的分力是力的效果上的一种等效替代关系，而不是力的本质上的替代。一个力若分解为两个分力，在分析和计算时，若考虑了两个分力的作用，就不可考虑这个力的作用效果了；反过来，若考虑了合力的效果，也就不能再去重复考虑各个分力的效果。
合力F的大小与两个分力
、
及夹角
的关系：
在两个分力、大小一定的情况下，改变、两个分力之间的夹角，合力F会发生改变。
(1)当角减小时，合力F增大。
(2)当
时，F最大，
。
(3)当角增大时，合力F减小。
(4)当
时，合力最小，
，方向与较大的分力方向相同。
总结以上几点，得出二力合成的合力大小的取值范围是
，值越小合力的值越大。
如果是三个力合成，、和
同向共线时合力最大，当任意两者之和大于第三者时，合力最小为零。
二、求两个共点力的合力的两种解法
共点力是各个力的作用点在同一点上或各个力的作用线延长后交于一点，在共点力作用下
的物体仅能发生平动，不会产生转动。对两个共点力的合成一般采用如下两种方法：
(1)作图法：就是根据两个分力的大小和方向，用力的图示法，从力的作用点起，按同一标度作出两个分力
，再以为邻边作出平行四边形，从而得到之间的对角线，根据表示分力的标度去度量该对角线，对角线的长度就代表了合力的大小，对角线与某一分力的夹角就可以代表合力的方向，如图所示。
=45 N，=60 N，
75 N，
．即合力大小为75 N，与的夹角为
。
(2)计算法
可以根据平行四边形定则作出示意图，然后根据几何知识求解平行四边形的对角线，即
为合力．以下是合力计算的几种特殊情况。
①相互垂直的两个力的合成，如图所示：
由几何知识，合力大小
，方向
②夹角为的相同大小的两个力的合成，如图所示：
由几何知识，作出的平行四边形为菱形，其对角线相互垂直且平分，
则合力大小
，方向与夹角为
。
③更特殊的是夹角为
的两等大的力的合成，如图所示：
由几何知识得到对角线将画出的平行四边形分为两个等边三角
形，故合力的大小与分力等大。
从上面的讨论中可看出合力可能比分力大，也可能比分力小，还可能等于分力，不要形成合力总大于分力的错误思维定势。
三、三角形定则与多边形定则
1．三角形定则
根据平行四边形定则，合力和两个分力必构成一个封闭的矢量三角形，叫做力的三角形定则。如图所示。
2．多边形定则
由三角形定则可推广到多个力的合成情况：由共点O顺次首尾相连作出各力的图示，然后由共点O向最后一个力的末端所引的图示即为要求的合力。如图所示。
：如图所示，轻绳AO、BO结于O点，系住一个质量为m的物体，AO、BO与竖直方向分别成
角，开始时
。现保持O点位置不变，缓慢增加BO与竖直方向的夹角
，直到BO成水平方向，试讨论这一过程中绳AO及BO上的拉力各如何变化？
解析：画出力的矢量三角形，由几何关系来分析三角形的变化，从而推断出力的大小、方向的变化。结点O所受拉力
，
组成如图所示三角形。由图可以看出，由于角增大，开始阶段
逐渐减小，当垂直
时，最小，然后又逐渐增大，是一直增大。
知识点二--力的分解
▲知识梳理
1．力的分解
求一个力的分力叫做力的分解。力的分解同样遵循力的平行四边形定则。
2．矢量和标量
(1)既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则(或三角形定则)的物理量叫做矢量。
(2)只有大小，没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量叫做标量。
3．力的正交分解法
(1)将一个力分解为相互垂直的两手分力的分解方法叫做力的正交分解法。
如图所示，将力F沿x轴和y轴两个方向分解，则
(2)力的正交分解的优点在于：借助数学中的直角坐标系对力进行描述，几何图形是直角三角形，关系简单、计算简便，因此在很多问题中，常把一个力分解为相互垂直的两个力。特别是物体受多个力作用求合力时，把物体所受的不同方向的各个力都分解到相互垂直的两个方向上去，然后再分别求每个方向上的分力的代数和，这样就把复杂的矢量运算转化成了简单的代数运算，最后再求两个互成
角的力的合力就简便多了。
▲疑难导析
一、力的分解原则
同一个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力，一个已知力究竟应怎样分解，要根据实际情况来决定。所谓实际情况，可理解为力的实际效果和实际需要。现对常见的几种情况分析如下：
1．斜面上的物体的重力一方面使物体沿斜面下滑，另一方面使物体紧压斜面，因此重力一般分解为沿斜面向下和垂直于斜面向下的两个力，如图所示。
2．地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力和竖直向上的力，如图所示。
3．用绳子挂在墙上的篮球受到的重力G产生了两个效果，一个效果将绳子拉紧，另一个效果使球压墙，所以球的重力G可分解为斜向下拉绳子的力和水平压墙的力，如图所示。
4．如图所示，电线OC对O点的拉力大小等于灯的重力，电线AO、BO都被拉紧，可见，OC上向下的拉力可分解为斜向下拉紧AO的力和水平向左拉紧BO的力。
二、在力的分解中有解、无解的讨论
力分解时有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)。若可以构成平行四边形(或三角形)，说明该合力可以分解成给定的分力，即有解。如果不能构成平行四边形(或三角形)，说明该合力不能按给定的分力分解，即无解。具体情况有以下几种：
|
己知条件 |
示意图 |
解的情况 |
|
已知合力和两个分力的方向 |
 |
有惟一解  |
|
已知合力和两个分力的大小 |
 |
有两解或无解(当 或 时无解)
 |
|
已知合力和一个分力的大小和方向 |
 |
有惟一解  |
|
已知合力和一个分力的大小和另一个分力的方向 |
 |
当 时有三种情况：(图略)
(1)当 或
 ，有一组解
(2)当 时，无解
(3)当 时，有两组解
当 ，仅时，有一组解，其余情况无解 |
因此在实际问题中分解某个力时，必须按该力产生的实际效果，在附加条件确定的前提下，才能得到确定的解，否则力的分解也将失去实际意义．
三、多个共点力合成的正交分解法的步骤
第一步：建立坐标系，以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系中x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上。
第二步：正交分解各力，即将每一个不在坐标轴上的力分解到x和y坐标轴上，并求出各力的大小，如图所示。
第三步：分别求x轴和y轴上各力的分力的合力，即
第四步：求
与
的合力即为共点力的合力。
合力大小：
，合力F与x轴间夹角
确定，即
。
由于对某个力分解时可以根据需要而任意分解，因此在正交分解建立坐标时也是任意的。但为了简化解题过程，建立坐标时应使尽量多的力在轴上，不在轴上的力应向轴做正交分解。
：分解一个力，若已知它的一个分力的大小和另一个分力的方向，以下正确的是(
)
A．只有惟一组解 B．一定有两组解
C．可能有无数组解 D．可能有两组解
答案：D
解析：
(1)分解一个力，若已知其中一个分力的方向，可做出另一个分力的最小值，如图，的方向沿OA，那么的最小值是BC对应的力的大小，即
。
(2)若
，以的大小对应的线段为半径，以B为圆心画圈弧交OA于C、D，可画出两组解：和，
和
(如图)。
(3)当
时只能有一组解(如图)。
(4)当
时，无解(如图)。
知识点三--验证力的平行四边形定则
▲内容展示
实验目的
验证力的平行四边形定则
实验器材
方木板、白纸、弹簧测力计(两个)、橡皮筋、细绳套(两个)、铅笔、三角板、刻度尺、图钉
实验原理
结点受三个共点力作用处于平衡状态，则之合力必与平衡，改用一个拉力
使结点仍到O，则F必与的合力等效，与平衡，以为邻边作平行四边形求出合力F，比较与F的大小和方向，以验证力合成时的平行四边形定则。
实验步骤
1．用图钉把白纸钉在方木板上。
2．把方木板平放在桌面上，用图钉把橡皮筋的一端固定在A点，橡皮筋的另一端拴上两个细绳套。
3．用两个弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮筋，使橡皮筋伸长到某一位置O．用铅笔描下O点的位置和两细绳套的方向，并分别记录两个弹簧测力计的读数和。
4．用铅笔和刻度尺从力的作用点O沿着两细绳套的方向画直线，并按选用的标度作出这两个弹簧测力计的拉力和的图示，以和为邻边，利用刻度尺和三角板作平行四边形，过O点画出平行四边形的对角线，作出合力F的图示。
5．只用一个弹簧测力计通过细绳套把橡皮筋的结点拉到同样的位置，记下弹簧测力计的读数和细绳的方向。用刻度尺从O点按选定的标度沿记录的细绳方向作出这个弹簧测力计的拉力的图示。
6．比较一下，力与用平行四边形定则求出的合力F的大小和方向，在实验误差允许的范围内是否相同。
7．改变两拉力和的大小、夹角，重复做两次实验。
实验记录：
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实验次数 |
/N
|
/N
|
按平行四边形定则作图得合力/N
|
实测力F/N |
F与之间偏差 |
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大小／N |
偏差角度 |
|||||
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1 |
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2 |
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3 |
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▲方法攻略
注意事项
1．弹簧测力计在使用前应检查、校正零点，检查量程和最小刻度单位。
2．用来测量和的两个弹簧测力计应用规格、性能相同，挑选的方法是：将两只弹簧测力计互相钩着，向相反方向拉，若两弹簧测力计对应的示数相等，则可同时使用。
3．使用弹簧测力计测拉力时，拉力应沿弹簧测力计的轴线方向，弹簧测力计、橡皮筋、细绳套应位于与木板平行的同一平面内，要防止弹簧卡壳，防止弹簧测力计或橡皮筋与纸面摩擦。拉力应适当大一些，但拉伸时不要超出量程。
4．选用的橡皮筋应富有弹性，能发生弹性形变，实验时应缓慢地将橡皮筋拉伸到预定的长度．同一次实验中，橡皮筋拉长后的结点位置必须保持不变。
5．准确作图是本实验减小误差的重要一环，为了做到准确作图，拉橡皮筋的细绳要长一些；结点口的定位应力求准确；画力的图示时应选用恰当的单位标度；作力的合成图时，应尽量将图画得大些。
6．白纸不要过小，并应靠木板下边缘固定，A点选在靠近木板上边的中点为宜，以使O点能确定在纸的上侧。
误差分析
本实验误差的主要来源除弹簧测力计本身的误差外，还出现读数误差、作图误差，因此读数时眼睛一定要正视，要按有效数字正确读数和记录，两力的对边一定要平行。两个分力间夹角越大，用平行四边形作图得出的合力F的误差△F也越大，所以实验中不要把取得太大。虽然如此，实验必有误差，我们要尽量规范操作减小误差。千万不要硬凑数据而使实验十全十美毫无误差，本实验允许的误差范围是：力的大小
F ，与F的夹角
，对于
和
的情况都要分析原因。
：在“验证力的平行四边形定则”实验中，假设的大小及方向固定不变，那么为了使橡皮条仍然伸长到O点，对来说，下列说法中正确的是( )
A．可以有多个方向
B．的方向和大小可以有多个值
C．的方向和大小是唯一确定的
D．的方向唯一确定，大小可有多个值
答案：C
解析：由于题目要求“使橡皮条仍然伸长到O点”，说明合力的大小和方向不变，既然假设的大小及方向固定不变，那么对来说，也就是唯一的了。故选项C是正确的。
典型例题透析
类型一--求合力的具体方法
力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用。这个力就是那几个力的“等效力”(合力)。力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律，作图法和计算法是运用这一规律进行共点力合成的具体方法。
1、如图所示，有五个力
作用一点O构成一个正六边形的两邻
边和三条对角线。设=10 N，试求这五个力的合力。
思路点拨：求五个共点力的合力，同样依据平行四边形定则。其一般解题步骤是：先求出其中任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力……直到把这五个力都合成为止，最后得到的结果就是这些力的合力。
本例也可以巧妙利用三角形定则进行分析求解。
解析：为了用巧妙方法解答该题，先介绍力的三角形作图法：根据平行四边形对边平行且相等的性质，力的平行四边形可以用更简单的作图法来代替。在图甲中F是共点力和的合力；如图乙所示，把力平移至线段AC的位置，从O点出发，把代表和的有向线段OA、AC首尾相接地画出来，连接OC，则从O指向C的有向线段就表示合力F的大小和方向，
就叫做力的三角形。上述作图法叫力的三角形法。同理也可做出图丙所示的力三角形OBC。
由上可知，两个力与其合力的图示必能组成一个封闭的三角形，其中首、尾相接的是两个分力．反过来说，如果表示三力的有向线段能组成一个封闭三角形，则其中的一边必为首尾相接的二力之合力。
本例题中，依据正六边形的性质及力的三角形作图法，不难看出，
可以组成一个封闭三角形，即可求得和
的合力必与相同。同理可求得
的合力也与相同。所求五个力的合力就等效为三个共点同向的的合力，即所求五个力的合力大小为30 N，方向沿的方向(合力与合成顺序无关)。
总结升华：此题若应用平行四边形定则，根据正六边形的几何特征及三角形的有关知识进行计算求解，将会涉及繁杂的数学运算。我们巧用物理概念、物理规律和物理方法做出平行四边形去分析、研究、推理和论证，合理地选择合成的顺序就使解题思路过程变得极为简单明了、巧妙而富有创意。
举一反三
[变式]如图所示，物体受到大小相等的两个拉力的作用，每个拉力均为200 N，两
力之间的夹角为
，求这两个拉力的合力。
解析：根据平行四边形定则，作出示意图，它是一个菱形，我们可以利用其对角线垂直平分，通过解其中的直角三角形求合力。
合力与、的夹角均为
。
类型二--力的分解
将一个力F分解为两个分力，根据力的平行四边形定则，是以这个力F为平行四边形的一条对角线作一个平行四边形，在无附加条件限制时可作无数个不同的平行四边形，这说明两个力的合力可惟一确定，一个力的两个分力不是惟一的。要确定一个力的两个分力时，一定要有定解条件。
按力的效果进行分解，这实际上就是一个定解条件。对一个已知力进行分解常有下面几种情况：
1．已知一个力的大小和方向及两个分力的方向，则两分力有确定值。
2．已知一个力的大小和方向及一个分力的大小和方向，则另一个分力有确定值。
3．已知一个力的大小和方向及两个分力的大小，则两分力大小有确定值(方向不定)。
4．已知一个力的大小和方向及一个分力的方向，则另一分力无确定值，且当两分力垂直时有最小值。例如设与F的夹角为，则当时无解；当时有一组解；当时有两组解；当时有一组解。
对力进行分解时，首先弄清定解条件，根据定解条件做出平行四边形图或三角形图，再依据几何知识求解。
2、如图所示，用长为L的轻绳悬挂一质量为m的小球，对小球再施加一个力，使绳和竖
直方向成角并绷紧，小球处于静止状态，此力最小为( )
A．
B．
C．
D．
思路点拨：以小球为研究对象，则小球受重力mg，绳拉力
，施加外力F，应有
F与合力与mg等大反向，即F与的合力为
。如图所示，
在合力
一定时，其一分力方向一定的前提下，另一分力的最小值由三角形定则可知F应垂直绳所在直线，故
，选A。
答案：A
总结升华：
1．力矢量三角形定则分析力最小的规律：
(1)当已知合力F的大小、方向及一个分力的方向时，另一个分力的最小条件是：两个分力垂直，如图(甲)，最小的分力
。
(2)当已知合力F的方向及一个分力的大小、方向时，另一个分力最小的条件是：另一个分力与合力垂直，如图(乙)，所求分力。
(3)当已知合力F的大小及一个分力的大小时，另一个分力最小的条件是：已知大小的分力与合力F同方向，最小的分力
。
2．当物体受三个力而平衡，所受三力必构成一个闭合矢量三角形，如果矢量三角形的角度已知或可求，可用正弦定理求解。
举一反三
[变式]如图所示，用一个轻质三角支架悬挂重物，已知AB杆所承受的最大压力为2 000 N，AC绳所承受最大拉力为1 000 N，
，为不使支架断裂，求悬挂物的重力应满足的条件？
解析：以A为研究对象，AB杆的支持力为，AC绳的拉力为，如图所画的平行四边形，
或
构成矢量三角形得知：
①
②
由①②得：
因为AB、
AC能承受的最大作用力之比为
当悬挂物体重力增加时，对AC绳的拉力将先达到最大值，
所以为使三角形支架不断裂，
计算中应以AC绳中拉力达到最大值为依据，即取
1000 N，
于是得悬挂物体的重力应满足的条件为
500 N。
类型三--力的合成与分解的实际应用
1．力的合成与分解的解题思路
在力的合成与分解中，根据力的平行四边形定则，画出力的平行四边形后，就转化为一个根据已知边角关系求解的几何问题。因此，力的合成与分解的解题基本思路可表示为：
当物体受到三个或三个以上的共点力作用时，用力的正交分解法求合力是一种行之有效的方法。力的正交分解法是在建立直角坐标系后，将不在两坐标轴上的力先正交分解到两坐标轴上，“分解”的目的是为了更方便地“合成”。正交分解的优点在于避免了对多个力用平行四边形定则多次进行合成，分解后只要处理两条直线上的力的合成问题就可以了。
2．在解决实际应用问题时，应学会把实际问题抽象出物理模型，结合相关物理、数学知识进行求解。
3、在雨后乡间的大道上，有一汽车的后轮陷在湿滑的路面上而抛锚，尽管司机加大油门，后轮仍无法起动，于是司机找出一根长绳，一端系在路旁的树上，另一端系在车上，并使绳绷紧，然后在绳的中央，沿垂直于绳的方向用力拉绳，就可以把车拉出，试分析其原因。
思路点拨：利用力的分解结合平行四边形定则分析求解。
解析：如图 (甲)所示设侧向力F作用于钢索O点，则O点将沿力的方向发生很小的移动，因此AOB不在一直线上，成一个非常接近
的角度，而且钢索也被拉紧。这样钢索在B端对汽车有一个沿BO方向的拉力
，根据对侧向力F的实际效果分析，可将F分解成沿AO和BO方向两个分力和、其中侧向力F沿BO方向的分力在数值上就等于。由于AO是同一根钢索，故＝，根据平行四边形定则画出如图(乙)所示的受力情况。由于∠AOB趋近于，故即使F较小，也非常大，故能将汽车拉出泥坑。
总结升华：在解决实际应用问题时，要注意把实际问题抽象出物理模型，结合相关物理、数学知识进行求解。
举一反三
[变式]如图所示，这是斧头劈柴的剖面图，图中BC边为斧头背，AB、AC边为斧头的刃面。要使斧头容易劈开木柴，则应使( )
A．BC边短一些，AB边也短一些
B．BC边长一些，AB边短一些
C．BC边短一些，AB边长一些
D．BC边长一些，AB边也长一些
答案：C
解析：斧头对柴的作用力可分解为垂直于AB和AC的两个分力，
越小，两个分力越大，木柴越容易被劈开。
知识要点梳理
知识点一--力的基本概念
▲知识梳理
1．力的概念
力是物体与物体的作用。
2．力的单位
N
3．力的表示方法
(1)力的图示；(2)物体受力的示意图。
力的图示：用线段来表示力，线的长短表示力的大小，线的指向表示力的方向。箭尾(或箭头)表示力的作用点，线段所在的直线叫做力的作用线。
4．力的三要素
(1)大小；(2)方向；(3)作用点。
5．力的作用效果
(1)使物体发生形变；(2)改变物体的)运动状态，使物体产生加速度。
6．力的分类
按性质分：重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力、核力。
按效果分：动力、阻力、压力、支持力、向心力。
按作用方式分
按研究对象分：内力、外力。
7．四种基本相互作用
万有引力、电磁作用、强相互作里、弱相互作用。
▲疑难导析
力的基本特性
1．物质性：由于力是物体对物体的作用，所以力是不能脱离物体而独立存在的，任意一个力必然与两个物体密切相关，一个是其施力物体，另一个是其受力物体。
2．矢量性：力不仅有大小，而且有方向，在相关的运算中所遵从的是平行四边形定则。
3．瞬时性：所谓的力的瞬时性特征，指的是力与其作用效果是在同一瞬间产生的。
4．独立性：力的独立性特征指的是某个力的作用效果与其它力是否存在毫无关系，只由该力的三要素来决定。
5．相互性：力的作用总是相互的，物体A施力于物体B的同时，物体B也必将施力于物体A。而两个物体间相互作用的这一对力总是满足大小相等，方向相反，作用线共线，分别作用于两个物体上，同时产生，同种性质等关系。
：关于力的下述说法中正确的是( )
A．力是物体对物体的作用，总是成对出现的
B．只有直接接触的物体间才有力的作用
C．由有一定距离的磁铁间有相互作用力可知：力可以离开物体而独立存在
D．举重运动员是“大力士”，他的身上存在着很大的力
答案：A
解析：力是物体间的相互作用，施力物体同时也是受力物体，力必定是成对出现的，故A正确。有力作用的两物体不一定直接接触，物体是否接触并不是所有的力产生的必要条件，如相隔一定距离的两个磁体间便有相互作用，故B错。磁体间有相互作用时虽没有直接接触，但力依然通过磁场(磁铁产生的特殊物质)而产生，故C错误。举重运动员是“大力士”，的确不错，但若没有受力物体，他也空有一身本领，是不可能产生任何力的，故D错。
知识点二--重力
▲知识梳理
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重力的产生 |
由于地球对物体的吸引而使物体受到的力 |
注意：在地球表面附近可近似认为等于万有引力 |
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重力的大小 |
可用弹簧秤测量 |
注意：
(1)物体的质量不会变
(2)G的变化是由在地球上不同位置处g的变化引起的 |
|
重力的方向 |
总是竖直向下的 |
注意：竖直向下是和水平面垂直，不一定和接触面垂直 |
|
重心 |
因为物体各部分都受重力作用，可认为重力作用集中于一点即为物体的重心 |
(1)影响重心位置的因素：
①物体的形状；②物体的质量分布
(2)确定方法：悬挂法
注意：重心的位置不一定在物体上 |
▲疑难导析
一、重心
1．重心概念的实质是从作用效果上命名的，是一种等效的处理方法。
2．测量：物体的重心可用悬挂法测出(二力平衡原理)，但也不是说，所有物体的重心都可用悬挂法测出，一般适用于薄板等。
3．几种情况的重心位置：
(1)质量分布均匀，有规则形状的物体的重心即几何中心。
(2)均匀杆或链的重心，随其形状变化而变化。
(3)重心不一定在物体上，如匀质环。
(4)质量分布不均匀的物体，重心位置除跟物体的形状有关外，还与物体的质量分布情况有关．例载重汽车的重心，随所装货物多少和装载位置的变化而变化。
4．几何上所讲的重心，是三条中线的交点，不是物理概念中的重心。同时注意“重心”也不能认为是“中心”。
二、重力与万有引力的区别与联系
重力是由于地球对物体的吸引而使物体受到的力，但不能认为重力就是地球对物体的吸引力
。因为此引力除产生重力外，还要提供物体随地球自转所需的向心力，如图所示。
因物体在地球上不同的纬度处随地球自转所需的向心力大小不同，不过由于此原因引起的重力变化不大，一般情况下，可不考虑地球的自转效应，近似地认为
。
重力的方向竖直向下，垂直于水平面，不受其他作用力的影响，与物体的运动状态也没有关系，而万有引力的方向永远指向地心。
：关于重力的产生，下列说法中正确的是( )
A．只有静止的物体才受重力
B．只有在空中运动的物体才受重力
C．绕地球运动的人造卫星不受重力
D．地球本身不受重力
答案：D
解析：重力是由于地球对物体的吸引而产生的，地球周围的物体都要受到地球的吸引。因此，物体所受到的重力的作用，与这个物体的运动状态无关，与物体是否接触地面也无关。人造卫星绕地球飞行，仍然受到地球的吸引作用，即仍然受到重力作用。力是物体对物体的作用，由于地球吸引而使物体受到的力叫重力。而物体对地球的吸引作用，不是地球的重力，地球也不能对自己产生重力作用。
点评：重力的施力物体是地球，受力物体是地球上的一切物体，不管物体处于何种状态，物体都要受到重力的作用。
知识点三--弹力
▲知识梳理
1．弹性形变和弹力
(1)形变：物体在力的作用下形状或体积发生改变，叫做形变。
(2)弹性形变：有些物体在形变后能够恢复原状，这种形变叫做弹性形变。
(3)弹力：发生弹性形变的物体由于要恢复原状，对与它接触的物体产生力的作用，这种力叫做弹力。
(4)弹力产生条件：物体直接相互接触；物体发生弹性形变。
(5)弹性限度：物体如果形变过大，超过一定限度，撤去作用力后，物体就不能完全回到原来的形状。这个限度叫做弹性限度。
2．弹力的大小
(1)胡克定律：弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧伸长(或缩短)的长度x成正比，即F=kx，这个规律叫做胡克定律。其中k称为弹簧的劲度系数。
(2)一般情况下应根据物体的运动状态，利用平衡条件或牛顿第二定律来计算。
▲疑难导析
一、关于弹力有无的判定
相互接触的物体不一定发生形变，因此不一定产生弹力，那么如何判断有无弹力呢？通常有两种方法。
(1)利用“假设法”判断
要判断物体在某一接触处是否受到弹力作用，可假设在该处将与物体接触的另一物体去掉，看物体是否能够保持原来的状态，从而判断物体在接触处是否受到弹力作用。
例如，如图所示，有一球放在光滑水平面AC上，并和光滑斜面AB接触，球静止，分析球所受的弹力。
可用“假设法”，即假设去掉AB面，因球仍然能够保持原来的静止状态，则可以判断出在球与AB面的接触处没有弹力；假设去掉AC面，则球将向下运动，故在与AC面的接触处球受到弹力，其方向垂直于AC面竖直向上。
(2)根据物体所处的状态判断
静止(或匀速直线运动)的物体都处于受力平衡状态，这可以作为判断某个接触面上弹
力是否存在的依据。
例如：如图所示，光滑球静止在水平面AC上且和AB面接触，球静止，分析球所受的弹力。
由于离开AC面上的弹力球将无法静止，故AC面上弹力是存在的。但是如果AB面上有弹力，球就不能保持静止状态，与实际情况不符，故AB面对球的弹力是不存在的。
二、关于弹力方向的判定
弹力是接触力，不同的物体接触，弹力方向的判断方法不同：例如，绳子只能产生拉力，物体受绳子拉力的方向总是沿绳子指向其收缩的方向。桌面产生的支持力的方向总是垂直于支持面指向被支持的物体。杆的弹力比较复杂，不一定沿杆也不一定垂直于杆，需根据受力情况或物体运动状态而定。
除绳和杆所受弹力之外，还时常遇到以下三种情况：
1．面面接触：弹力的方向垂直于接触面。
2．点面接触：弹力的方向通过点且垂直于接触面。
3．点点接触：弹力的方向垂直于公切面。总之：弹力方向垂直“面”，没有面的画“切面”。
：在半球形光滑容器内，放置一细杆，如图所示，细杆与容器的接触点分别为A、B点，则容器上A、B两点对细杆的作用力方向分别为( )
A．均竖直向上
B．均指向球心
C．A点处指向球心，B点处竖直向上
D．A点处指向球心，B点处垂直细杆向上
答案：D
解析：对A点是点点接触，应过A点做圆的切面，其弹力垂直于切面，因此A点弹力方向指向球心；而B点属于点面接触，其弹力必垂直于AB杆向上。故D正确。
知识点四--探究弹力与弹簧伸长的关系
▲内容展示
实验目的
1．探索弹力与弹簧伸长的定量关系；
2．学习所用的科学方法
实验器材
弹簧、直尺、钩码一盒、铁架台
实验原理
弹簧受力会发生形变，形变的大小与受到的外力有关。沿着弹簧的方向拉弹簧，当形变稳定时，弹簧产生的弹力与使它发生形变的拉力在数值上是相等的。用悬挂法测量弹簧的弹力运用的正是弹簧的弹力与挂在弹簧下面的砝码的重力相等。弹簧的长度可以用刻度尺直接测出，伸长量可以由拉长后的长度减去弹簧原来的长度进行计算。数据处理可以由列表、图象两种办法进行处理。
实验步骤
1．把弹簧悬吊在铁架台上，让弹簧自然下垂，在弹簧不挂钩码时测量弹簧的原长
。
2．将已知质量的砝码挂在弹簧的下端，在平衡时测量弹簧的总长并计算砝码的重力，填写在记录表格里然后改变所挂钩码的质量，重复前面的实验过程多次。
3．根据所测数据，在已经准备好的坐标纸上描点。以力为纵坐标，以弹簧的长度为横坐标。
4．按照图中各点的分布与走向，尝试作出一条平滑曲线(包括直线)，技巧是所描的点不一定都在曲线上。
5．作图得到的是如图甲所示的图象。尽管是直线，也就是一次函数，但不够简洁，即不是刚好反映函数间的正比关系。处理的办法是将坐标轴平移，就可以得到一个从原点出发的函数图象(图乙)．这个平移的意义正是弹簧的长度之差，与所要考虑的伸长多少相关。平移后将横坐标由弹簧的长度改为弹簧的伸长量。
6．进而找到弹簧的伸长量为自变量，写出实验得到的曲线所代表的函数即弹力与弹簧伸长量的关系。
7．当函数表达式中出现常数时，试解释这个常数的物理意义。
8．运用表中的数据计算验证所得的函数关系。
▲方法攻略
注意事项
1．悬吊弹簧时要让它自然下垂，别忘了测量弹簧的原长。
2．每改变一次拉力的大小就要做一次测量记录。为了探索弹力和弹簧伸长的关系，要尽可能多测几组数据，以便在坐标纸上能描出更多的点。
3．.实验时拉力不要太大(即钩码不能过多)，以免弹簧被过分拉伸，超出它的弹性限度。要注意观察，适可而止。
4．在坐标纸上尝试描画一条平滑曲线(包括直线)时，要顺着各点的走向来描，描出的点可以不一定正好在曲线上，但要注意使曲线两侧的点数大致相同。
5．写出曲线所代表的函数时，建议首先尝试用一次函数，如果不行再考虑其他函数。
误差分析
1．本实验误差的主要来源为读数和作图时的偶然误差。
2．弹簧竖直悬挂时，未考虑弹簧自身重力的影响。
3．为了减小误差，要尽量多测几组数据。
：某同学和你一起探究弹力和弹簧伸长的关系，并测弹簧的劲度系数k。做法是先将待测弹簧的一端固定在铁架台上，然后将最小刻度是毫米的刻度尺竖直放在弹簧一侧，并使弹簧另一端的指针恰好落在刻度尺上。当弹簧自然下垂时，指针指示的刻度数值记作；弹赞下端一个50 g的砝码时，指针指示的刻度数值记作
；弹簧下端挂两个50 g的砝码时，指针指示的刻度数值记作
；……；挂七个50 g的砝码时，指针指示的刻度数值记作
。.
(1)下表记录的是该同学已测出的6个值，其中有两个数值在记录时有误，它们的代表符号分别是 和 测量记录表：
(2)实验中，
和两个值还没有测定，请你根据上图将这两个测量值填入记录表中。
(3)为充分利用测量数据，该同学将所测得的数值按如下方法逐一求差，分别计算出了三个差值：
6.90 cm，
6.90 cm，
7.00 cm。
请你给出第四个差值：
= cm。
(4)根据以上差值，可以求出每增加50g砝码的弹簧平均伸长量
。 用
表示的式子为：=
。代入数据解得= cm。
(5)计算弹簧的劲度系数k= N/m。(g取9.8
)
答案：
(1)
(2)6.85(6.84-6.86)；14.05(14.04-14.06)
(3)
；7.20(7.18-7.22)(4)
；1.75 (5)28
解析：
(1)有效数字的读数不符合要求。
(2)由图中箭头指示的数看出结果，注意估读。
(3)由第二问中的数据直接求得结果。
(4)由题中原理有
，而
，因而有
(5)由
，得
N/m=28 N/m。
知识点五--摩擦力
▲知识梳理
1．摩擦力
两个相互接触的物体，当它们发生相对运动或具有相对运动趋势时，就会在接触面上产生阻碍相对运动的力，这种力叫做摩擦力。
2．产生条件
(1)相互接触的物体间有弹力；(2)接触面粗糙；(3)接触面间有相对运动或相对运动趋势。这三个条件缺一不可。
3．静摩擦力
(1)定义：两个相互接触的物体间只有相对运动的趋势，而没有相对运动，这时的摩擦力叫做静摩擦力。
(2)静摩擦力的方向：总是沿着接触面，并且跟物体相对运动趋势的方向相反。
(3)静摩擦力的特点：静摩擦力与外力有关，在两物体接触面上的弹力一定的情况下，静摩擦力有一个最大值，叫做最大静摩擦力，两物体间实际的静摩擦力F在零与最大静摩擦力之间，即
。
4．滑动摩擦力
(1)定义：当一个物体在另一个物体表面滑动时，会受到另一个物体阻碍它滑动的力，这种力叫做滑动摩擦力。
(2)滑动摩擦力的方向：总是沿着接触面，并且跟物体的相对运动的方向相反。
(3)滑动摩擦力的大小跟正压力成正比。用
表示正压力的大小，则有
，其中
是比例常数(没有单位)，叫做动摩擦因数。
▲疑难导析
一、常见三种性质的力的比较
|
|
产生条件 |
大小 |
方向 |
作用点 |
联系 |
|
重力 |
由于地球的吸引 |
与物体的质量成正比 |
总是竖直向下 |
在物体的重心 |
弹力是摩擦力产生的必要条件之一 |
|
弹力 |
物体之间接触并发生弹性形变 |
对弹簧：由弹性形变的大小决定弹簧的弹力
 |
与物体的形变方向相反 |
在接触面上 |
|
|
摩擦力 |
接触物体间相互挤压并发生相对运动或有相对运动趋势 |
静摩擦力由外力或运动状态确定。滑动摩擦力 |
与相对运动或相对运动趋势方向相反 |
在接触面上 |
注意：压力与重力易混淆，误认为压力就是重力，或者知道压力和重力不是同一个力，但误认为二者总是等大，至少水平支撑面的压力与重力等大。其实这些认识都是错的，压力与重力等大的条件是物体要静止放在水平支撑面上(或与水平支撑面一起做匀速直线运动)，并且不能受到在竖直方向有分力的其他力的作用。分清压力和重力十分重要，例如：滑动摩擦力公式中的是正压力，不是重力。又如用弹簧秤测量物体的重力，弹簧秤反映的是其产生的弹力大小，欲让弹簧秤能测出重力，物体必须静止竖直悬挂在弹簧秤下。
二、静摩擦力的有无及方向的确定方法
判断物体间有无静摩擦力及确定静摩擦力的方向时常用的方法有三种：
1．根据“静摩擦力与物体相对运动的趋势方向相反”来判断。关键是搞清“相对”的含义。在具体应用时，可先假定接触面光滑，如果这时物体与接触面发生相对滑动，可知物体与接触面有相对运动趋势。而相对运动趋势方向即为假定光滑时物体相对接触面运动的方向。
2．根据摩擦力的效果来判断：如平衡其他力、做动力、做阻力、提供向心力等来判断其方向；再根据平衡条件或牛顿运动定律来计算大小。用牛顿第二定律判断，关键是先判断物体的运动状态(即加速度方向)，再利用牛顿第二定律(
)确定合力的方向，然后受力分析判定静摩擦力的方向。
如图中物块A和B在外力F作用下一起沿水平面向右以加速度a做匀加速直线运动时，摩擦力使A物体产生加速度，大小为ma，方向水平向右。
3．利用牛顿第三定律来判断．此法关键是抓住“摩擦力是成对出现的”，先确定受力较少的物体受到的摩擦力方向，再确定另一物体受到的摩擦力方向。
三、静摩擦力大小的确定
静摩擦力大小与压力无关，但其最大值与压力有关，静摩擦力可以在一定范围内调整大小使物体保持相对静止。其大小可以用下面两种方法判断：
1．物体处于平衡状态时利用力的平衡条件来判断其大小；即静摩擦力的大小等于与之平衡的外力大小。
2．物体有加速度时，若只有摩擦力，则。例如匀速转动的圆盘上物块靠摩擦力提供向心力产生向心加速度。若还受其他力，则
，先求合力再求摩擦力。这种与运动状态有关的特点，与滑动摩擦力不同。
四、对滑动摩擦力公式的进一步理解
1．叫动摩擦因数，它与接触面的材料、表面的粗糙程度有关，无单位。
2．滑动摩擦力F的大小与物体的运动速度无关，与接触面的大小也无关。
3．公式中的是两个物体接触面间的压力，称为正压力(垂直于接触面的力)，性质上属于弹力，它不是物体的重力，大小也不一定等于物体的重力，许多情况下需结合物体的平衡条件加以确定。
五、受静摩擦力的物体一定静止吗？摩擦力一定与运动方向相反吗？
物体是否受到静摩擦力与物体处于静止还是运动状态没有关系，关键是物体相对于其接触的物体是否静止，像皮带传送机把货物运往高处，物体是运动的，但物体相对于皮带没有滑动，受到的是静摩擦力。其实，生活中很多运动的物体都受到静摩擦力的作用，如一个人端着一杯水走路，杯子受到手的摩擦力；人走路时受地面的摩擦力；站在启动的火车上的人受到车厢底板的摩擦力；拔河比赛时人受绳子的摩擦力等都是静摩擦力。因此受静摩擦力的物体可以是静止的，也可以是运动的。
一谈到摩擦力，有人觉得摩擦力总是在阻碍物体的运动，是阻力。其实不然，原因是他把“阻碍物体的运动”和“阻碍物体间的相对运动”混淆了，摩擦力总是阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势，而不一定阻碍物体的运动。
滑动摩擦力的方向与物体间相对运动的方向相反。因此，判断摩擦力方向时一定明确“相对”的含义，“相对”既不是“对地”，也不是“对观察者”。“相对”的是跟它接触的物体，所以滑动摩擦力的方向可能与物体运动方向相反，也可能相同，也可能与物体运动方向成一定的夹角。
：如图所示，匀质球被一轻质细绳斜拉着靠在墙上保持静止，则关于墙对球的摩擦
力的正确说法是(
)
A．没有摩擦力
B．有向上的摩擦力
C．有向下的摩擦力
D．不能确定
答案：B
解析：匀质球处于静止状态，取O为转动轴，对球有转动贡献的只有绳AC的拉力T和墙给球的静摩擦力f，T使球有逆时针的转动效果。由平衡条件可知f使球应有顺时针的转动效果，才能使球处于平衡状态。故f的方向应向上，选项B正确。
典型例题透析
类型一--对力、重力、重心概念的理解
1．力是物体间的相互作用
(1)力不能离开物体而单独存在，谈到一个力时，一定有“施力”和“受力”两个物体，施力物体和受力物体是同时存在的。所以力总是对应一对物体。
(2)力的作用是相互的，物体甲对物体乙施加受力的同时，必然受到乙对甲的作用力，因此说施力物体同时也是受力物体。例如人站在地面上，人对地面施加了压力，人是施力物体，地面是受力物体，而地面同时对人施加支持力的作用，地面是施力物体，人是受力物体。所以力总是成对出现。
但对某一物体而言，可能有多个施力物体，寻找施力物体是我们在对物体进行受力分析，判断物体是否受多个力的一种好方法。
2．重力的方向是竖直向下的，也可以说成是垂直于水平面向下，但不是垂直向下。重力的大小仅与物体的质量m及当地的重力加速度g有关，与物体本身的形状和运动状态等其他因素无关。
3．对重心的理解
(1)重心是一个物体各部分受到的重力作用的等效作用点。
(2)质量分布均匀的物体，重心的位置只跟物体的形状有关。有规则几何形状的均匀物体，它的重心的位置在它的几何中心，如实心铅球的重心在球心。
(3)质量分布不均匀的物体，重心的位置与物体的形状有关，还跟物体质量的分布情况有关。悬挂物静止时，悬线所在直线必过重心，两次悬挂找交点，交点即为重心位置。
(4)物体重心的位置可以在物体上，也可以在物体外，例如一个平板的重心在板上，而一个铁环的重心就不在铁环上。
(5)重心的位置与物体的位置、放置状态及运动状态无关，但一个物体的质量分布发生变化时，其重心的位置也发生变化。例如一个充气的篮球，其重心在几何中心处，若将篮球内充入一定量的水，则充水的球相对于原球重心将下移。
1、质量为2 kg的物体被一根乡田绳悬吊在天花板下静止(g取9.8 N/㎏)，则以下说法正确的是( )
A．物体重力大小等于19.6
N
B．物体对绳的拉力与物体重力的大小、方向均相同，所以它们是同一个力
C．剪断细绳后，物体不受任何力的作用
D．物体的各部分中，只有重心处受重力
思路点拨：由重力和质量的关系可知=2×9.8N=19.6
N，A选项正确；判断两个力是否是同一个力不能仅看大小、方向是否相同，还要看作用点、性质等因素。物体对绳的拉力，施力物体是该物体，受力物体是绳，作用点在绳上，属于弹力，而重力的施力物体是地球，受力物体是该物体，作用点在物体上，它们不是同一个力，B选项不正确；剪断细绳后，物体仍受重力作用，C选项不正确；物体的各部分都受重力，从“效果”上看跟重力作用在重心一样，D选项错。
答案：A
总结升华：理解重力的关键：(1)方向竖直向下。(2)重力的大小与物体的运动状态无关，但随高度和纬度的不同而不同。(3)拉力或压力不一定等于重力。
举一反三
[变式]关于重力的大小，下列说法中正确的是( )
A．物体的重力大小总是恒定的
B．同一地点，物体的重力与物体的质量成正比
C．物体落向地面时，它受到的重力大于它静止时所受到的重力
D．物体的重力总等于它对竖直测力计的拉力
答案：B
解析：物体重力的计算式为，物体的质量m是恒定的，但g的取值与地理位置有关。对同一地点g的取值相同，随着物体所处的地理位置纬度的升高，g值将增大；随高度的增加g值将减小。因此，不能认为物体的重力是恒定的，故选项A错，选项B正确。由公式可知，物体所受的重力与物体的质量和g值有关，与物体是否受其他力及运动状态均无关，故选项C错误。用测力计竖直悬挂重物只有静止时，物体对测力计的拉力才等于物体的重力，故选项D错误。
类型二--弹力的产生及方向
1．接触且有弹性形变是弹力产生的充分条件，判断弹力的有无常用的方法是假设法：假设没有弹力，看物体的运动状态是否改变。弹力的方向总是与恢复形变的方向相同。
2．弹力的方向
(1)有明显形变的情况下，依据物体的形变方向来判断：弹力的方向与物体形变的方向相反。
如：①弹簧的弹力方向：伸长时与伸长方向相反，压缩时与压缩的方向相反。
②绳的拉力方向沿绳与绳形变方向相反或与绳收缩方向相同。
(2)微小形变时，形变方向不易观察，应依据物体间的接触面特点进行分析，可分为下面三种情形：
①面面接触，弹力方向垂直于接触面。
②点面接触：弹力的方向通过点且垂直于接触面。
③点点接触：弹力的方向垂直于公切面。
(3)根据物体的受力情况，利用平衡条件或动力学规律判断。这种情况常见于杆发生拉伸形变和弯曲形变，也就是说杆的弹力方向不一定沿杆。
2、如图所示，小车上固定着一根弯成角的曲杆，杆的另一端固定一个质量为m
的球。试分析下列两种情况下杆对球的弹力方向：
(1)小车处于静止状态；
(2)小车以加速度a水平向右运动。
思路点拨：对于杆或硬质支撑物的弹力，有时无法直接判断弹力方向，可根据物体所处运动状态，由平衡条件和牛顿定律分析求得。
[解析]
(1)根据物体平衡条件可知，杆对球的弹力方向竖直向上，且大小等于球的重力mg。
(2)选小球为研究对象，假设小球所受杆的弹力方向与竖直方向的夹角为，
如图所示，
根据牛顿第二定律有
两式相除得
。
总结升华：杆对球的弹力方向与球的运动状态有关，并不一定沿杆的方向，这与轻绳所产生的弹力方向是有区别的。
举一反三
[变式]在如图所示装置中分析AB、AC杆对A点的弹力方向，不计AB、AC的重力。
[答案]如图所示。
[解析]用绳替换AB，原装置状态不变，说明AB对A施加的是拉力；用绳替换AC，原状态不能维持，说明AC对A施加的是支持力。
类型三--胡克定律的探究与应用
1．胡克定律中，k为弹簧的劲度系数，它由弹簧本身确定，当弹簧串接或并接时，组成的新弹簧的劲度系数的求解，要针对串接或并接后的新弹簧，利用
求解，而不能凭猜想解答。
2．在物理学中经常用图象处理物理问题，应用图象的好处是：直观、方便，根据已有数据选择坐标的标度是作好图象的关健。作图象的方法是：用平滑的曲线(或直线)将坐标纸上的各点连接起来，若是直线，应使各点均匀分布于直线两侧，偏离直线太大的点应舍弃，有时可以通过改变物理量的方法，把曲线变为直线，使图象更直观。
3、某同学用如图所示装置做探究弹力和弹簧伸长关系的实验。他先测出不挂砝码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，然后在弹簧下端挂上砝码，并逐个增加砝码，测出指针所指的标尺刻度，所得数据列表如下：(重力加速度g=9.8)
(1)根据所测数据，在答题卡的坐标纸上作出弹簧指针所指的标尺刻度底与砝码质量的关系曲线。
(2)根据所测得的数据和关系曲线可以判断，在
范围内弹力大小与弹簧伸长关系满足胡克定律．这种规格弹簧的劲度系数为 N/m。
思路点拨：题目要求学生知道用平滑的曲线连接，不要画成折线，并能够将曲线中的直线部分与胡克定律联系起来，将曲线与弹性限度相联系，从而加深对物理规律的理解。
答案：
(1)如图： 
(2)0-4.9；25.8
解析：
(1)从表中所给的数据中计算出弹簧伸长与砝码质量的对应数值，在坐标图上描出各点，用平滑的曲线连接各点即可。注意不要画成折线。
(2)符合胡克定律的部分是曲线的直线部分，直线在质量为500g处结束，所对应的弹力等于砝码的重力，F=mg =4.9 N，故在0-4.9N范围内满足胡克定律
4.9 N时对应的弹簧伸长量为0. 34 m.
由胡克定律F=kx得
N/m。
总结升华：本题取材于考试大纲要求的探索性实验“探究弹簧弹力与弹簧伸长的关系”，重点考查考生的实验能力和处理实验数据并得出正确结论的能力。
举一反三
[变式]用金属制成的线材(如纲丝、钢筋)受到的拉力会伸长，17世纪英国物理学家胡克发现，金属丝或金属杆在弹性限度内的伸长与拉力成正比，这就是著名的胡克定律。这个发现为后人对材料的研究奠定了重要的基础．现有一根用新材料制成的金属杆，长为4m，横截面积为0. 8
，设计要求它受到拉力后的伸长不超过原长的1/1 000，由于这一拉力很大，杆又较长，直接测试有困难，就选用同种材料制成样品进行测试，通过测试取得数据如下：
(1)测试结果表明线材受拉力作用后其伸长与材料的长度成 比，与材料的截面积成
比；
(2)上述金属细杆承受的最大拉力为 N。
解析：
(1)从原长分别为1 m和2m时在相同力作用下的伸长量，可以看出其伸长量与原长成正比；比较相同长度，横截面积分别为0.05和0.10的情况下，受到相同作用力时的伸长量，可以看出伸长量与横截面积成反比。
(2)长度为4m的金属杆最大伸长量为
，从表中可以看出长1m，横截面积为0.10的金属杆受1000 N的拉力时伸长量为0.08 cm，则由(1)推出的关系可以看出长1m，横截面积为0.8的金属杆受1000 N的拉力时伸长量为0.01 cm，那么长4m横截面积为0.8的金属杆受1000 N的拉力时伸长量为0.04 cm，而在长度和横截面积一定的情况下，受到的拉力与伸长量成正比，所以长4m，横截面积为0.8的金属杆伸长量最大为0.4cm时，所受到的拉力应为10000 N。
类型四--滑动摩擦力的计算及方向判断
1．滑动摩擦力的方向与物体间相对运动方向相反，而不是与物体的运动方向相反，有时滑动摩擦力的方向也可与物体运动方向相同。
2．此类问题最容易犯的错误就是不分静摩擦力还是滑动摩擦力，一律用进行求解。应当明确求摩擦力时首先要判断相互作用的两物体是相对运动还是相对静止，若相对静止，则要根据物体的运动状态求静摩擦力；若相对运动，则用求解。
4、如图所示，在倾角
的粗糙斜面上放一物体，重力为G，现在用与斜面底边平行的力
推物体，物体恰能在斜面上斜向下匀速直线运动，则物体与斜面之间的动摩擦因
数是多少？
思路点拨：在垂直于斜面的方向上，利用平衡条件求出正压力；在斜面内，利用平衡条件求出摩擦力
；最后利用
求动摩擦因数。
解析：在垂直于斜面的方向上，物体受力平衡，即
，在斜面内，
物体所受的推力F、摩擦力及重力的分力
平衡，如图所示。
由平衡条件得
则物体与斜面间的动摩擦因数是为
。
总结升华：滑动摩擦力方向的判定：
1．其依据是“滑动摩擦力的方向与物体相对运动的方向相反”。
2．其步骤为：
(1)选研究对象(即受摩擦力作用的物体)；
(2)选跟研究对象接触的物体为参考系；
(3)找出研究对象相对参考系的速度方向；
(4)滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反。
举一反三
[变式]在粗糙的水平面上放一物体A，A上再放一质量为m的物体B，A、B间的动摩擦因数为(如图所示)。施加一水平力F于A，计算下列情况下A对B的摩擦力的大小。
(1)当A、B一起做匀速运动时；
(2)当A、B一起以加速度a向右匀加速运动时；
(3)当力F足够大而使A、B发生相对滑动时。
解析：
(1)因A、B向右匀速运动，B物体受到的合力为零，所以B物体受到的摩擦力为零。
(2)因A、B无相对滑动，所以B受到的摩擦力是静摩擦力，此时不能用滑动摩擦力公式来计算，用牛顿第二定律对B物体分析有得
。
(3)因A、B发生了相对滑动，所以B受到摩擦力是滑动摩擦力，即
。
类型五--静摩擦力的大小与方向
相对运动趋势不如相对运动直观，具有很强的隐蔽性，所以静摩擦力的方向判断较困难，为此常用下面几种方法判断：
1．“假设法”和“反推法”
假设法：即先假定没有摩擦力(即光滑)时，看相对静止的物体间能否发生相对运动。若能，则有静摩擦力，方向与相对运动方向相反；若不能，则没有静摩擦力，换句话说，静摩擦力的存在是为了使两物体相对静止，若没有它，两物体也相对静止，就没有静摩擦力。
反推法：是从研究物体表现出的运动状态这个结果反推出它必须具有的条件，分析组成条件的相关因素中摩擦力所起的作用，就容易判断摩擦力的方向了。
2．根据物体的运动状态，用牛顿第二定律来判断
此法关键是先判明物体的运动状态(即加速度方向)，再利用牛顿第二定律()确定合力，然后受力分析确定静摩擦力的大小及方向。
3．利用牛顿第三定律(即作用力与反作用力的关系)来判断此法关键是抓住“力是成对出现的”，先确定受力较少的物体受到的静摩擦力方向，再确定另一物体受到的静摩擦力。
5、如图所示，物体m静止于倾角为的斜面上，现用垂直于斜面的推力 F=kt(k为比例常量、t为时间)作用在物体上。从t=0开始，物体所受摩擦力随时间t的变化的关系是图中的哪一个( )
思路点拨：物体原来就静止在斜面上，所受合力为零，施加推力F，使物体对斜面的压力增大，沿斜面方向上的力没有变化，合力仍为零，即静摩擦力等于物体的重力沿斜面向下的分力，D正确。
答案：D
点评：考查考生对静摩擦力特性的理解和掌握程度，如果学生认为静摩擦力与物体对斜面的压力成正比，则会错选B。
举一反三
[变式]指明物体A在图所示四种情况下所受的静摩擦力的方向：
(1)物体A静止于斜面上，如图甲所示；
(2)物体A受到水平拉力F作用而仍静止在水平面上，如图乙所示；
(3)物体A放在车上，当车在刹车过程中，随车一起停止运动，如图丙所示；
(4)物体A在水平转台上，随转台一起匀速转动，如图丁所示。
[解析]静摩擦力的方向与物体相对运动趋势方向相反，判断相对运动趋势方向可来用“假设法”，即先假设接触面光滑，然后分析在假设条件下物体是否发生相对滑动。若滑动，说明原来物体有相对运动趋势，且相对运动趋势方向与假设条件下的滑动方向相同；若不滑动，则说明原来物体没有相对运动的趋势。
运用假设法不难判断出图甲中物体有沿斜面向下滑动的趋势，所受的静摩擦力沿斜面向上。
图乙中的物体A有向右滑动的趋势，所受静摩擦力沿水平面向左。
判断静摩擦力方向，还可以根据共点力平衡条件以及牛顿第二定律判断。
图丙中，A物体随车一起向右减速运动，其加速度方向水平向左，故A物体所受静摩擦力方向水平向左(与加速度同向)。
图丁中，A物体随转台匀速转动，做匀速圆周运动，其加速度总指向圆心，则A受到的静摩擦力也总指向圆心。
2、反冲运动
(1)反冲运动是相互作用的物体之间的作用力与反作用力产生的效果。如射击时枪身的后坐，发射炮弹时，炮身的后退，火箭因喷气而发射，水轮机因水的冲刷而转动等都是典型的反冲运动。
(2)反冲运动的过程中，如果没有外力作用或外力的作用远小于物体间的相互作用力，可利用动量守恒定律来处理。
(3)研究反冲运动的目的是找反冲速度的规律，求反冲速度的关键是确定相互作用的对象和各物体对地的运动状态。
(4)反冲运动中距离、移动问题的分析
一个原来静止的系统，由于某一部分的运动而对另一部分有冲量，使另一部分也跟随运动，若现象中满足动量守恒或某个方向上满足动量守恒，则有
，有
。物体在这一方向上有速度，经过时间的累积，物体在这一方向上运动一段距离，则距离同样满足
，则它们之间的相对距离
。
(5)火箭的反冲问题
火箭内部装有燃料和氧化剂，它们经过输送系统进入燃烧室，燃烧生成炽热气体向后喷射，获得向后的动量，按动量守恒定律，火箭必获得向前的动量。燃料不断燃烧，连续地向后喷出气体，火箭不断地受到向前的推力作用，从而获得很大速度。火箭飞行所能达到的最大速度，也就是燃料燃尽时获得的速度。最大速度主要取决于两个条件：一是喷气速度；二是火箭开始飞行时的质量与燃料燃尽时的质量比。喷气速度越大，质量比越大，最终速度越大。
▲疑难导析
1、弹性碰撞、完全非弹性碰撞和非弹性碰撞的对比
|
种类 |
弹性碰撞 |
完全非弹性碰撞 |
非弹性碰撞 |
|
产生条件 |
碰撞后不保留形变 |
碰撞后形变完全保留 |
碰撞后保留部分形变 |
|
过程特点 |
系统动量守恒，机械能守恒 |
系统动量守恒，机械能不守恒 |
|
|
数学表达式 |
 |
 |
 |
|
末速度计算式 |
 |
当 时 |
解方程求出 |
特别提醒：弹性碰撞的规律
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和动能守恒。
以质量为
速度为
的小球与质量为
的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有
解得
结论：
(1)当两球质量相等时，两球碰撞后交换了速度。
(2)当质量大的球碰质量小的球时，碰撞后两球都向前运动。
(3)当质量小的球碰质量大的球时，碰撞后质量小的球被反弹回来。
2、散射
在粒子物理和核物理中，常常使一束粒子射入物体，粒子与物体中的微粒碰撞。研究碰撞后粒子的运动方向，可以得到与物质微观结构有关的很多信息。与宏观物体碰撞不同的是，微观粒子相互接近时并不发生直接接触，因此微观粒子的碰撞又叫做散射。由于粒子与物质微粒发生对心碰撞的概率很小，所以多数粒子在碰撞后飞向四面八方。如图所示。
3、解析碰撞问题的三个依据
(1)动量守恒，即
(2)动能不增加，即
或
(3)速度要符合情景：如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度必大于前面物体的速度，即
，否则无法实现碰撞．碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体速度大于或等于原来在后的物体的速度，即
，否则碰撞没有结束．如果碰前两物体是相向运动，则碰后，两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零．
4、平均动量守恒
若系统在全过程中的动量守恒(包括单方向动量守恒)，则这一系统在全过程中的平均动量也必守恒，如果系统是由两个物体组成，且相互作用前均静止，相互作用后均发生运动，则由动量守恒定律，。
得推论：
。使用时应明确
必须是相对同一参照物位移的大小。常见的“人船模型”符合此特点。
：如图所示，一颗质量为m、速度为
的子弹竖直向上射穿质量为M的木块后继续上升，子弹从射穿木块到再回到原木块处所经过的时间为T。那么当子弹射穿木块后，木块上升的最大高度是_________。
解析：当子弹射穿木块的过程中，系统受到重力的作用，
但由于时间太短，内力远大于外力，
因此作用过程中，仍可以认为动量守恒。
子弹射穿木块后速度
根据动量守恒有
解得
根据
可得
。
典型例题透析
题型一--碰撞问题的处理
在处理碰撞问题时，通常要抓住3项基本原则，即
(1)碰撞过程中动量守恒原则。
(2)碰撞后系统总动能不增加原则。
(3)碰撞前后状态的合理性原则：碰撞过程的发生必须符合客观实际，如甲追上乙物并发生碰撞，碰前甲的速度必须大于乙的速度，碰后甲的速度必须小于等于乙物的速度，或甲反向运动。
1、如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动。两球质量关系为
，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为6
，运动中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为－4 ，则( )
A．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2:5
B．左方是A球．碰撞后A、B两球速度大小之比为1:10
C．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2:5
D．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1:10
思路点拨：根据碰撞的三项基本原则(即碰撞过程中动量守恒原则、碰撞后系统总动能不增加原则和碰撞前后状态的合理性原则)分析求解。
解析：由两球的动量都是6，知运动方向都向右，且能够相碰，说明左方是质量小速度大的小球，故左方是A球，碰后A球的动量减少了4，即A球的动量为2，由动量守恒定律得B球的动量为10，故可得其速度比为2:5，故选项A是正确的。
答案：A
总结升华：本题主要考查了学生的分析能力和判断能力。解决此问题的关键在于首先根据动量的大小，判断出速度谁大谁小，然后利用动量守恒定律，解决问题即可。
举一反三
[变式]甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动，已知它们的动量分别是
5 ，
7 ，甲追上乙并发生碰撞，碰撞后乙球的动量变为
10 ，则两球质量
与
的关系可能是( )
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：
(1)碰前因甲能追上乙，故
，所以
，所以A错。
(2)碰后：应有
，所以
由动量定恒
，所以
2 。
所以
，所以D错。
(3)能量：碰撞前总动能≥碰撞后总动能
所以
可得
，所以B错。正确选项为C。
题型二--平均动量守恒
注意公式的成立条件：系统由两个物体组成，且相互作用前均静止，相互作用后均发生运动。使用时应明确必须是相对同一参照物位移的大小。
2、如图所示，一浮吊质量M=2
kg，由岸上吊一起一质量m = 2
kg的货物后，再将吊杆OA从与竖直方向间夹角
转到
，设吊杆长L=8m，水的阻力不计，求浮吊在水平方向移动的距离？向哪边移动？
思路点拨：对浮吊和货物组成的系统，在吊杆转动过程中水平方向不受外力，动量守恒。当货物随吊杆转动远离码头时，浮吊将向岸边靠拢，犹如人在船上向前走时船会后退一样，所以可应用动量守恒求解。
解析：设浮吊和货物在水平方向都做匀速运动，浮吊向右的速度为v，货物相对于浮吊向左的速度为u，
则货物相对河岸的速度
。由
，得
吊杆从方位角
转到
需要时间
所以浮吊向岸边移动的距离
。
总结升华：如果相互作用的物体所受外力之和不为零，外力也不远小于内力，系统总动量就不守恒，也不能近似认为守恒，但是，只要在某一方向上合外力的分量为零，或者某一方向上的外力远小于内力，那么在这一方向上系统的动量守恒或近似守恒。
举一反三
[变式]如图所示，长为L，质量为M的小船停泊在静水中，一个质量为m的人立在船头，若不计水的粘滞阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移各是多少?
解析：选人和船为一系统，由于系统在水平方向不受外力作用，
所以系统在水平方向上动量守恒，
设某一时刻人对地速度大小为，船对地面速度大小为
，
选人的运动方向为正方向，由动量守恒定律，得
在人与船相互作用过程中，任何时刻上式始终成立。
船的运动受人运动的制约，人动船动，人停船停。
设人从船头到船尾的过程中，人对地位移的大小为
，船对地位移大小为
，
由于上式在整个过程中都成立，所以
又从图中可知
所以可解得
。
题型三--多个物体组成的系统动量守恒
求解这类问题时应注意：
(1)正确分析作用过程中各物体状态的变化情况，建立运动模型；
(2)分清作用过程中的不同阶段，并找出联系各阶段的状态量；
(3)合理选取研究对象，即要符合动量守恒的条件，又要方便解题。
动量守恒定律是关系质点组(系统)的运动规律，在运用动量守恒定律时主要注重初、末状态的动量是否守恒，而不太注重中间状态的具体细节，因此解题非常便利，凡是碰到质点组的问题，可首先考虑是否满足动量守恒的条件。
3、如图所示，两只小船平行逆向航行，航线邻近，当它们头尾相齐时，由每一只船上各投质量m=50kg的麻袋到对面另一只船上去，结果载重较小的一只船停下来，另一只船则以v=8.5m/s的速度向原方向航行，设两只船及船上的载重分别为=500㎏和=1000kg，问在交换麻袋前两只船的速率各为多少?
思路点拨：两船在相互丢给对方麻袋的过程中，同时存在着相互作用，即载重为的船投过来的麻袋和载重为的船的相互作用，载重为的船投过来麻袋和载重为的船的相互作用。因此，应该分别选择这两个相互作用的系统为研究对象，由于水的阻力不计，这两个系统的动量守恒。另外，两只船和两只麻袋这4个物体在相互作用过程中，总动量也守恒。
解析：设小船和在交换麻袋前的速率分别为和，方向为正方向。
选取和从投过的麻袋为系统，根据动量守恒定律，有
①
选取和从投过的麻袋为系统，根据动量守恒定律，有
②
联立式①②，解得=1
m/s，=9
m/s。
总结升华：正确应用动量守恒定律的一个重要环节是准确地选取系统，必须根据相互作用物体的受力情况及运动特征确定系统，在同一物理问题中，针对不同的运动阶段，有时还需交换系统，在系统确定后，写动量守恒式时，还应特别注意总动量与系统的对应性。
举一反三
[变式]A、B两船质量均为m，都静止在水面上。今有A船上质量为
的人，以对地水平速率v从A船跳到B船上，再从B船跳到A船上，然后再从A船跳到B船上……经过若干次跳跃后，最终停在B船上。不计水的阻力，下列说法中正确的是( )
A．A、B(包括人)两船速率之比为2:3
B．A、B(包括人)两船动量大小之比为2:3
C．A、B(包括人)两船动能之比为3:2
D．以上答案均不正确
答案：C
解析：据动量守恒，两船(包括人)动量大小比为1:1，B错。
由
得
，A错。
由
，C正确。
题型四--动量守恒定律应用中的临界问题
这类临界问题的求解关键是分析物体的临界状态，挖掘问题中隐含的临界条件，选取适当的系统和过程，运用动量守恒定律进行解答。
4、两磁铁各放在一辆小车上，小车能在水平面上无摩擦地沿同一直线运动。已知甲车和磁铁的总质量为0.5kg，乙车和磁铁的总质量为1.0kg。两磁铁的N极相对，推动一下，使两车相向运动。某时刻甲的速率为2m/s，乙的速率为3m/s，方向与甲相反。两车运动过程中始终未相碰。求：
(1)两车最近时，乙的速度为多大？
(2)甲车开始反向运动时，乙的速度为多大？
思路点拨：应用动量守恒定律解决临界问题时，明确临界条件是解题的前提：两车相距最近的含义是两车的速度相同，甲车开始反向时的速度为零。在此基础上规定正方向，再利用动量守恒定律列式求解。
解析：
(1)两车相距最近时，两车的速度相同，设该速度为
，取乙车的速度方向为正方向。
由动量守恒定律得
所以两车最近时，乙车的速度为
(2)甲车开始反向时，其速度为0，设此时乙车的速度为
，由动量守恒定律得
－
得
总结升华：处理动量守恒定律中的临界问题：
(1)寻找临界状态
题设情景中看是否有相互作用的两物体相距最近，避免相碰和物体开始反向运动等临界状态。
(2)挖掘临界条件
在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，即速度相等或位移相等。
正确把握以上两点是求解这类问题的关键。
举一反三
[变式]甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速度均为6m/s，甲车上有质量
＝1 kg的小球若干个，甲和他的车及所带小球总质量为＝50 kg，乙和他的车的总质量为＝30 kg，甲不断地将小球以16.5 m/s的对地水平速度抛向乙，并被乙接住，问甲至少要抛出____________个小球才能保证两小车不相撞(不计空气阻力)
答案：15
解析：当甲、乙两车最终速度相等时，两车刚好不相撞，设此速度为v，取甲运动方向为正方向，甲、乙两车及球组成的系统水平方向动量守恒，有
，又
＝6 m/s，将质量代入解得v＝1.5 m/s，方向与甲原运动方向相同。设抛出几个球后使甲的速度为v，对甲和被抛出的球，由动量守恒定律有
，其中＝16.5 m/s，则n＝15个