在地球表面发射卫星.当卫星的速度超过某一速度时.卫星就会脱离地球的引力.不再绕地球运行.这个速度叫做第二宇宙速度．已知地球对物体的万有引力势能可表示为U(r)＝-≤0.r为物体离地心的距离．设地球半径——青夏教育精英家教网—

40、在地球表面发射卫星，当卫星的速度超过某一速度时，卫星就会脱离地球的引力，不再绕地球运行，这个速度叫做第二宇宙速度．已知地球对物体的万有引力势能可表示为U(r)＝－≤0，r为物体离地心的距离．设地球半径为r₀，地球表面重力加速度为g₀，忽略空气阻力的影响，试根据所学的知识，推导第二宇宙速度的表达式(用r₀、 g₀表示)．

解：卫星从发射到脱离地球引力的过程中机械能守恒．设卫星以v₀的速度从地面附近发射时能脱离地球的引力，则其在地面时的能量为：

E₀＝　　　　　(4分)

由题意知 E₀≥0　　　　　　　　

即　 ≥0　　 (4分)

又因为在地球表面时，物体的重力等于万有引力，有：

　　　　 (4分)

解得第二宇宙速度v₀满足：v₀≥　．　(2分)

39、中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A．计时表一只，B．弹簧秤一把，C．已知质量为m的物体一个，D．天平一只(附砝码一盒)．在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t．飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可出推导出月球的半径和质量．(已知万有引力常量为G)，要求：

(1)说明机器人是如何进行第二次测量的？

(2)试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式．

解析：(1)机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小　 (2分)

(2)在月球上忽略月球的自转可知　 =F　 ①(2分)　　②　 (2分)

飞船在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供物体做圆周运动的向心力可知③(2分)又 ④(2分)

由①、②、③、④式可知月球的半径　　　(2分)

月球的质量　　　　　　　(2分)

38、我国探月工程计划在2015年以前通过无人驾驶的轨道飞行器，在月球上进行采样工作，以此方式执行最初的登月计划，并最终实现中国人登上月球．假设2017年7月7日，我国宇航员乘“嫦娥五号”飞船到月球上考察．宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，乘坐返回舱返回围绕月球做圆周运动的轨道舱，如图所示，为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．已知返回舱与人的总质量为m，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g0，轨道舱到月球中心的距离为r，不计月球自转的影响．

　 (1)返回舱至少需要多大速度才能绕月飞行，不再落回月面?

　 (2)卫星绕月过程中具有的机械能由引力势能和动能组成．已知当它们相距无穷远时引力势能为零，它们距离为r时，引力势能为EP=-GMm/r．则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱?

(12分)参考解答及评分标准　　

　 (1)月球对返回舱的引力F应是其运动所受的向心力。

　　　　 GMm／R2=mV2/R ①……　 (2分)

在月球表面上，返回舱和人所受到的万有引力近似等于物体的重力，则．　　

GMm／R² = mg_o．②………………(2分)　。

　　可得V=√g _o R…-…一(1分)

　　 (2)设轨道舱的质量为mo，速度大小为V，则　　

　　．　　 GMm/r²=mv²/ r…--(1分)

　　解得宇航员乘坐返回舱与轨道舱进行对接时，具有的动能为：　

　　　　 E_K= 1/2 mV²=GMm/2r……(1分)

　　　　因此返回舱返回过程中克服引力做的功为　　

　　　W=一GMm／r一(一GMm／R)=GMm／R-GMm/r……………………(3分)

　　由能量守恒可知返回舱返回时至少需要能量

　　　E = E_K+W = GMm/R-GMm/2r

　　或　　 E=mg₀R(1-R/2r)　　　　　　　　　　　　　　 ……………………(2分)

37、已知一颗人造卫星在半径为R的某行星上空绕该行星做匀速圆周运动，经过时间t ，卫星运动的弧长为S ，卫星与行星的中心连线扫过的角度是θ弧度，( 已知万有引力常量为G )　求:

(1) 人造卫星距该行星表面的高度h

(2) 该行星的质量M　　　　　　　　

(3) 该行星的第一宇宙速度V₁

解：

(1)s = rθ(1分)　h= r－R (1分)　　 h =S /θ－R(2分)

(2)v=s/t　 (1分)　 GMm/r²= m V²/ r　 (1分)　　　 M = S ³/ θG t ²(2分)

(3)GMm/R²= m V₁²/ R (2分)

V₁= ( S ³/θt ²R )^1/2(2分)

36、宇航员在地球上用一根长0．5m细绳拴着一个小球在竖直平面内做圆周运动，用传感器测出小球在最高点时的速度大小=3m／s及绳上的拉力F=4N。若宇航员将此小球和细绳带到某星球

上，在该星球表面上让小球也在竖直平面内做圆周运动，用传感器测出在最低点时绳上拉力

F₁=9N，最高点时绳上拉力F₂=3N。取地球表面重力加速度=10m／s²，空气阻力不计。求：

　　 (1)该小球的质量m；

　　 (2)该星球表面附近的重力加速度g’；

　　 (3)已知该星球的半径与地球半径之比为R_星：R_地=1：4，求该星球的质量与地球质量之

比M_星：M_地。

35、我国已启动“嫦娥工程”，并于2007年10月24日成功发射绕月运行的探月卫星“嫦娥Ⅰ号” ．设该卫星可贴近月球表面运动且轨道是圆形的，已知地球半径约是月球半径的4倍，地球质量约是月球质量的81倍，地球近地卫星的周期约为84min，地球表面重力加速度g取10m/s²，求：

(1)绕月表面做匀速圆周运动的“嫦娥Ⅰ号”，其运动周期约是多大？

(2)设想宇航员在月球表面上做自由落体实验，某物体从离月球表面20m处自由下落，约经多长时间落地？

解：(1)设地球质量为M，半径为R，近地卫星的质量为m，周期为T₀，它受地球的万有引力提供向心力，则

　　　　　　　　= mR(2π/T)²--------------------------------------------①

设月球质量为M₁，半径为R₁，探月卫星的质量为m₁，周期为T₁，它受月球的万有引力提供向心力，则

　　　　　　　=m₁R₁(2π/T₁)²------------------------------------------②

T₁=94.5min---------------------------------------------③

(2)设地球表面重力加速度g，月球表面重力加速度g₁，自由下落高度为h，

mg = ----------------------------------------------④

m₁g₁=---------------------------------------⑤

h=g₁t²---------------------------------------------------⑥

t=4.5s--------------------------------------------------⑦

评分说明：第一问6分，①②③式各2分，第二问6分，④⑤式各1分，⑥⑦式各2分。

34、某一发达国家的宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。已知返回舱返回过程中需克服火星的引力而做的功可由如下公式计算：，其中：R为火星的半径，r为轨道舱到火星中心的距离，m为返回舱与人的总质量，g为火星表面的重力加速度。已知本次科学考察中轨道舱到火星中心的距离r=，设 m、R、g为已知的物理量。不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能完成与轨道舱对接？安全返回到轨道舱。