1.已知函数y=f(x)=x²+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(    )

A.0.40         B.0.41           C.0.43           D.0.44

分析 本题主要考查如何求函数的增量.

解 由函数值的增量公式Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀),

得Δy=f(2+0.1)-f(2)=(2+0.1)²+1-(2²+1)=0.41.

答案 B

2.若曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线方程为2x+y+1=0,则(   )

A.f′(x₀)>0          B.f′(x₀)=0

C.f′(x₀)<0          D.f′(x₀)不存在

分析 本题考查导数的几何意义.曲线在点x=x₀处的导数,即为切线的斜率.

解 切线的方程为2x+y+1=0,即y=-2x-1,

斜率为-2,故曲线在x=x₀处的导数为-2,

即f′(x₀)=-2<0.

答案 C

3.设函数f(x)在点x₀附近有定义,且有f(x₀+Δx)-f(x₀)=aΔx+b(Δx)²(a、b为常数),则(    )

A.f′(x)=a               B.f′(x)=b

C.f′(x₀)=a              D.f′(x₀)=b

分析 本题主要考查导数的概念.

解 ∵f(x₀+Δx)-f(x₀)=aΔx+b(Δx)²(a、b为常数),

∴f′(x₀)=

=(a+bΔx)=a.

答案 C

4.★一个距地心距离为r,质量为m的人造卫星,与地球之间的万有引力F由公式F=给出,其中M为地球质量,G为常量.则F对于r的瞬时变化率是(   )

A.           B.            C.           D.

分析 本题考查常见函数的导数.

解法一 ∵F==,

∴F′=-2GMmr^-3=-.

解法二 ∵F=,

∴F′=

答案 D

5.函数y=xcosx-sinx的导数为(    )

A.xsinx              B.-xsinx              C.xcosx            D.-xcosx

分析 本题主要考查两个函数的差的导数的运算法则,即两个函数差的导数等于它们的导数的差.

解 y′=(xcosx)′-(sinx)′=x′cosx+x(cosx)′-cosx=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

答案 B

6.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y′｜_x=2等于(   )

A.-3           B.-1           C.3          D.1

分析 本题主要考查导数的几何意义,即函数y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线的斜率是y=f′(x₀).

解 ∵函数在点(2,1)处的切线的斜率等于直线3x-y-2=0的斜率,∴y′|_x=2=3.

答案 C

7.设f(x)=(x≠-1),则f′(x)等于(    )

A.3x²-2x+1                B.3x²+2x+1

C.3x²-2x-1                 D.x²-2x+1

分析 本题主要考查积、商函数的导数.可直接求导,也可先将函数变形,化成更便于求导的形式求导,这样可减少运算量.

解法一 f′(x)=

=

=

=

=3x²-2x-1.

解法二 ∵f(x)==(x+1)(x-1)²=x³-x²-x+1,

∴f′(x)=3x²-2x-1.

答案 C

8.函数y=sin2x在点M()处的切线斜率为(   )

A.-1         B.-2          C.1         D.2

分析 本题主要考查复合函数的导数及导数的几何意义.

解∵y′=(sin2x)′=cos2x(2x)′=2cos2x,

∴=2cos(2×)=1.

答案 C

9.★设函数f(x)=1-e^x的图象与x轴相交于点P,则曲线在点P处的切线的方程为(   )

A.y=-x        B.y=x       C.y=ex          D.y=-ex

分析 本题考查常见函数的导数及导数的几何意义.

解 令1-e^x=0,得x=0,∴P(0,0).

∵f(x)=1-e^x,∴f′(x)=-e^x.

∴f′(x)|_x=0=-e⁰=-1.

∴过点P(0,0),斜率为-1的直线方程是y=-x.

答案 A

10.若曲线y=x²-1与y=1-x³在x=x₀处的切线互相垂直,则x₀等于(   )

A.           B.-           C.          D.或0

分析 本题主要考查导数的几何意义及两直线垂直的位置关系,即若两直线的斜率都存在,则它们垂直的条件是斜率的乘积等于-1.

解 因为两直线垂直且导数都存在且分别为y′=2x,y′=-3x²,

所以(2x)?(-3x²)=-1,

即x=.

答案 A

第Ⅱ卷(非选择题共60分)

11.曲线y=2x³-x+2在点(1,3)处的切线方程是          .

分析　本题考查导数的应用及其几何意义.

解　∵y=2x³-x+2,∴y′=6x²-1.

当x=1时,y′=6-1=5,∴直线的斜率为5,且过点(1,3).

∴直线方程为y-3=5(x-1),即5x-y-2=0.

答案　5x-y-2=0

12.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)=2t³-5t²,则t=2秒时,汽车的瞬时速度是          .

分析 本题考查导数的物理意义,即瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数.

解 ∵s(t)=2t³-5t²,∴s′(t)=6t²-10t.

∴s′(t)|_t=2=6×2²-10×2=4.

答案 4

13.若曲线y=-x³+3与直线y=-6x+b相切,则b为         .

分析 本题考查导数的几何意义.关键是确定曲线上哪一点的导数等于-6.

解 y′=-3x².

令y′=-3x²=-6,得x=±.

把x=代入曲线方程中,得y=3-2.

把x=-代入曲线方程中,得y=3+2.

因为曲线与直线y=-6x+b相切,

所以切点也在直线y=-6x+b上.

分别把(,3-2)、(-,3+2)代入直线方程中,得b₁=3+4,b₂=3-4.

答案　3±4

14.★若f′(x₀)=1,则             .

分析 本题考查导数的定义及极限的运算法则.根据导数的定义式,把原式进行一系列变形,凑定义式的结构形式.至于用什么字母或符号表示自变量增量无关紧要.

解

答案

15.(本小题满分8分)设函数f(x)=ax³+3x²+2,若f′(-1)=4,试求a的值.

分析 本题考查利用导数求参数的值.解题的关键是利用导数会列参数的方程.

解 ∵f(x)=ax³+3x²+2,

∴f′(x)=(ax³)′+(3x²)′   2分

=3ax²+6x.                4分

∵f′(-1)=4,∴3a-6=4.      6分

∴a=.                 8分

16.(本小题满分8分)假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p₀(1+5%)^t,其中p₀为t=0时的物价.假定某种商品的p₀=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?(精确到0.01)

分析 本题考查指数函数的导数及导数的实际意义.

解 ∵p₀=1,∴p(t)=1.05^t.                                        2分

根据基本初等函数的导数公式,有p′(t)=1.05^tln1.05.               4分

∴p′(10)=1.05¹⁰ln1.05≈0.08(元/年).                            7分

因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.    8分

17.(本小题满分8分)求函数y=(+1)(-1)的导数.

分析 本题主要考查函数的和、差、积的导数,培养灵活地处理问题的能力.可以整体运用u?v型求导公式,也可先把函数式展开变形后再求导.做一做,比较一下.

解法一 ∵y=(+1)(-1),

∴y′=(+1)′(-1)+(+1)(-1)′  3分

=(-1)-(+1)              5分

=-(1+).                            8分

解法二 ∵y=(+1)(-1)=+,

∴y′=-=

18.★(本小题满分10分)已知抛物线y=ax²+bx+c通过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a、b、c的值.

分析 本题考查导数的几何意义.函数在x=2处的导数等于直线y=x-3的斜率.由题意构造出关于a、b、c的方程组,然后求解.

解 ∵f(1)=1,∴a+b+c=1.   ①   2分

又f′(x)=2ax+b,

∵f′(2)=1,∴4a+b=1    . ②   3分

又切点(2,-1),∴4a+2b+c=-1.③   6分

把①②③联立得方程组

解得            9分

即a=3,b=-11,c=9.           10分

19.(本小题满分10分)设试讨论当a、b为何值时,f(x)在x=1处可导.

分析 本题考查分段函数在接点处的导数.需依据导数的定义,分别求解此函数在接点处的左导数与右导数.

解 要使f(x)在x=1处可导,则f(x)在x=1处必连续,则+f(x)=f(1),即a+b=1.        2分

又若存在,则当x=1时,有=.                          5分

∵==(2+Δx)=2,

=　　　　　7分

∴b=2,a=-1,

即当a=-1,b=2时,函数f(x)在x=1处可导.　　　　　　10分