重庆市2009届高三第二次质量检测
数 学（理科）
本试卷分第第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
参考公式：
如果事件
互斥，那么 
如果事件相互独立，那么 
如果事件A在一次实验中发生的概率是P，那么它在
次独立重复实验中恰好发生
此的概率 
球的表面积公式 
其中
表示球的半径
球的体积公式 
其中表示球的半径
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选择题没小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题上。
3．填空题的答案和解答题的解答过程直接写在答题卡Ⅱ上。
4．考试结束，监考人将本试题和答题卡一并收回。
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在答题卡上。
1．
A．-2 B．
2．若复数
，则
的虚部为
A．1
B．
D．
3．已知函数
，则下列结论正确的是
A．
在
处连续
B．
C．
D．
4．若命题甲：
A为假命题，命题乙：
也为假命题，
为全集，则下列四个用文氏形反应集合
与
的关系中可能正确的是
5．设函数
，
是
的小数点后第
位数字，
3.14159265358…，则
的值等于
A．1
B．
6．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象上所有点
A．向右平移
个单位长度，再把横坐标缩短为原来的
倍（纵坐标不变）
B．向右平移
个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）
C．向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）
D．向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）
7．设数列
是以2为首项，1为公差的等差数列，
是以一为首项，2为公比的等比数列，则
A．1033
B．
8．直线
与椭圆
的一个交点为
，椭圆右准线与
轴交于
点，
为坐标原点，且
，则此椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
9．如图，在120°的二面角
内，半径为1的圆
与半径为2的圆
分别在半平面
内，且与棱
切于同一点，则以圆与圆为截面的球的表面积为
A．
B．
C．
D．
10．过原点的直线交双曲线
与
两点，现将坐标平面沿直线
折成直二面角，则折后线段
的长度的最小值等于
A．
B．
C．
D．4
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡II上（只填结果，不要过程）
11．
的展开式中含
项的系数为_____________。
12．已知向量
，则项量
与向量
的夹角为______________。
13．函数
在
处的切线方程是_______________。
14．某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分（如图），现有4种不
同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻
部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______________
种。（用数字作答）
15．在平面直角坐标系
中，已知集合
，则集合
表示的平面区域的面积为_________________。
三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡II上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）。
16．（13分）设函数
（I）求函数
的周期；
（II）设函数的定义域为
，若
，求函数的值域。
17．（13分）某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲、乙、丙参加了一所中学的招聘面试，
面试合格者可以正式签约，毕业生甲表示只要面试合格就签约，毕业生乙和丙则约定：两人
面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是
，且面试是否合
格互不影响，求：
（I）至少有1人面试合格的概率；
（II）签约人数
的分布列和数学期望。
18．（13分）如图所示，四棱锥
中，
为
的中点，
点在
上且
（I）证明：
N；
（II）求直线
与平面
所成的角
19．（12分）已知
设的反函数为
。
（I）求
的单调区间；
（II）若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围。
20．（12分）已知双曲线
的渐近线方程是
，且它的一条准线与渐近线
及轴
围成的三角形的周长是
（I）求以的两个顶点为焦点，以的焦点为顶点的椭圆
的方程；
（II）是椭圆的长为
的动弦，为坐标原来点，求
的面积
的取值范围。
21．（12分）已知是各项都为正数的数列，
为其前项的和，且
（I）分别求
，
的值；
（II）求数列的通项
；
（III）求证：
高2009级学生学业质量调研抽测试卷（第二次）
数学（理科）参考解答及评分意见
DBCDA，CABCD
二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）
11．
12．
13．
14．72 15．10
三、解答题（本大题6个小题，共75分）
16．（13分）
解：（I）
故函数的周期为
（II）
又
函数的值域为
17（13分）
解：（I）至少有1人面试合格的概率为
（II）
从而的分布列为
0
1
2
3
18．（13分）
方法一：（I）过点
作
M交
于
点，
连结
又
为平行四边形
平面
（II）过点作
交
于点，
于点
连结
过点作
于
，连结
易知
通过计算可得
，
，
方法二：以A为原点，以
所在直线分
别为
轴，建立空间直角坐标系
，
如图所示，过点
交
连结，由已知可得A（0，0，0）、B（0，
2，0）、D（1，0，0）、C（1，1，0）、P（0，
0，1）、M（，，）、E（，0，）、
N（0，，0）
（I）
（II）不妨设
而
即向量与
的夹角为
，
直线与平面所成的角为
19．（12分）
解：（I）由
当时，
当
时，
，
的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，
）
（II）设
则
当
时，
在
上是减函数；
当
时，
在
上是增函数。
20．（12分）
解：（I）由题意知双曲线焦点在轴，设双曲线的方程为
则
，解得
双曲线的方程为
，故椭圆的方程为
（II）（1）当直线斜率不存在时，设直线的方程为
，
则
代入得
，
的面积
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为
代入
得
令
则
又原点到的距离为
综合（1）（2）可知，的面积
21．（12分）
解：（I）令
，得
（舍去负的），
同理，令
可得
（II）
（Ⅲ）令
