保密 ★ 启用前 【考试时间：2008年4月21日下午15:00～17:00】
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绵阳市高中2008级第三次诊断性考试
数 学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷．全卷150分．第I卷1至2页，第II卷3至10页．考试结束后，将第Ⅱ卷和答题卡两部分一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用4B或5B铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用4B或5B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A + B）= P（A）+ P（B）；
如果事件A、B相互独立，那么P（A?B）= P（A）?P（B）；
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：
；
正棱锥、圆锥的侧面积公式
，其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长；
球的体积公式
，其中R表示球的半径．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 把它选出来填涂在答题卡上．
1．已知全集U=R，A={-1，0，1}，B={x||x|>x}，则A∩(
UB)=
A．{1} B．{0，1} C．{-1} D．Æ
2．下列各选项中，与sin2008º最接近的是
A．
B．
C．
D．
3．已知等差数列{an}，Sn是它的前n项和，若a7+a9=16，则S15=
A．64 B．
4．设实数a，b满足ab<0，则下列不等式中正确的一个是
A．|a-b|<|a+b| B．|a+b|<|a-b| C．|a-b|<||a|-|b|| D．|a-b|<|a|+|b|
5．已知a，b是非零向量，且
，则向量
的模为
A．
B．2 C．
D．3
6．对平面α和异面直线l1，l2，下面四个命题中的真命题是
A．若l1
α，则l2与α相交
B．若l1α，则l2一定不垂直于α
C．若直线l1'，l2'是l1，l2在α内的射影，则l1'，l2'是相交直线
D．若l1⊥l2，且l1与α成45º的角，则l2与α所成的最大角是45º
7．若对于任意实数x，有x3=a0+a1(3-x)+a2(3-x)2+a3(3-x)3，则a0+a2=
A．36 B．18 C．10 D．4
8．已知：集合
，集合H={(x，y)|x2+y2=2}，“命题：(x，y)∈G”是“命题：(x，y)∈H”的必要而不充分条件，则u的取值范围是
A．u≤ B．u≤- C．u≤2 D．u≤-2
9．已知lga<0，则函数
的图象是
 |
|||||||
 |
|||||||
 |
|||||||
 |
|||||||
A． B． C． D．
10．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M是CC1的中点，设正方体的外接球球心为O，则点O到面A1B1M的距离等于
A．
B．
C．
D．
11．设F1，F2分别是椭圆
（a>b>0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F2交椭圆于点E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
12．已知y=f (x)是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是
，且y=f (x+1) 的图象过A(-4，0)，B(2，3)两点，若
≤3，则x的取值范围是
A．[0，3] B．[-4，2] C．[-1，2] D．[1，3]
绵阳市高中2008级第三次诊断性考试
数 学（文史类）
第Ⅱ卷（共90分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
题号
二
三
总分
总分人
总 分
复查人
17
18
19
20
21
22
分数
得分
评卷人
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13．抛物线y=x2的焦点坐标是__________．
14．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则∠C的最大值为_______．
15．今年“3?15”，某报社做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收1000份．因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本．若在B单位抽30份，则在D单位抽取的问卷是_________份．
16．已知α∈R，且α≠
，k∈Z，设直线l：y=
x tanα+m，其中m≠0．给出下列结论：
①l的倾斜角为arctan(tanα)；
②l的方向向量与向量a=(cosα，sinα)共线；
③l一定与直线xsinα-ycosα+n=0（n≠m）平行；
④若0<α<
，则l与直线y=x的夹角为-α．
其中，真命题的编号是__________．（写出所有真命题的编号）
得分
评卷人
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）
若函数
sin2
x- sinx cosx (
>0)的最小正周期为
．
（1）求的值：
（2）若将
的图象向右平移
个单位后，所得的图象C对应的函数g(x)恰好是偶函数，求最小正数，并求g(x)的单调递增区间．
得分
评卷人
18．（本题满分12分）
如图，直二面角P-AD-C中，四边形ABCD是∠BAD=120º的菱形，AB=2，PA⊥AD，E是AB的中点，设PC与平面ABCD所成的角为45º．
（1）求证：平面PCE
平面PAB；
（2）求二面角A-PD-E的大小．
 |
得分
评卷人
19．（本题满分12分）
某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目．游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运吉祥物”或“奥运会徽”．要求两人一组参加游戏，参加游戏的两人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽1张，抽后不放回，直到两人中的一人抽到“奥运会徽”卡得奖才终止游戏．
（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽”卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽”卡的概率为
．请你回答有几张“奥运会徽”卡呢？
（2）现有甲、乙两人参加游戏，双方约定甲先抽取乙后抽取．求甲获奖的概率．
得分
评卷人
20．（本题满分12分）
已知函数
图象上斜率为3的两条切线间的距离为
，
的导数为
，函数
．
（1）若函数
在x=1有极值，求的解析式；
（2）若函数在[-1，1]是增函数，且
≥在[-1，1]上都成立，求实数m的取值范围．
得分
评卷人
21．（本题满分12分）
下表给出的是由n×n（n≥3，n∈N*）个正数排成的n行n列数表，aij表示第i行第j列的一个数．表中第一列的数从上到下依次成等差数列，其公差为d．表中各行，每一行的数从左到右依次都成等比数列，且所有公比相等，公比为q，已知a13=
，a23=
，a32=1．
a11
a12
a13
…
a1n
a21
a22
a23
…
a2n
a31
a32
a33
…
a3n
…
…
…
…
…
an1
an2
an3
…
ann
（1）求a11，d，q的值；
（2）设表中对角线上的数a11，a22，a33，…，ann组成的数列为{ann}，记Tn=a11+a22+a33+…+ann，求使不等式2nTn<4n-n-43成立的最小正整数n．
得分
评卷人
22．（本题满分14分）
O为坐标原点，A(xA，yA)和B(xB，yB)两点分别在射线x+y=0(x≤0)，x-y=0(x≥0)上移动，且
，动点P满足
．记点P的轨迹为C．
（1）求
的值；
（2）求C的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（3）设点G(-1，0)，若直线y=kx+m（m≠0）与曲线C交于M、N 两点，且M、N两点都在以G为圆心的圆上，求k的取值范围．
绵阳市高2008级第三次诊断性考试
数学（文）参考解答及评分标准
BACBC DADAC DC
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．(0，) 14．
15．60 16．②④
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）∵ 
， …………………………………4分
∵ f(x)的最小正周期为，
∴ 
．
∴ 
． ……………………………………………………………………6分
（2）∵
+，
∴ 
， ………………………………………8分
∴ 要使函数g(x)是偶函数，则
，k∈Z，
∴ 
，k∈Z
∴ 当且仅当k=-1时，
取最小正数
． ………………………………10分
∴ 
．
∴ 2kπ-π≤4x≤2kπ，k∈Z，解得
≤x≤
，k∈Z．
∴ g(x)的单调递增区间是[
]，k∈Z． ……………………12分
18．（1）证明：∵ PA⊥AD，二面角P-AD-C是直二面角，
∴ PA⊥面ABCD．
∴ PA⊥CE． …………………………………………………………………2分
如图，连接AC，∵ ABCD是菱形，∠BAD=120º，
∴ ∠BAC=60º，∠ABC=60º，
∴ △ADC是等腰三角形．
∵ E是AB的中点，
∴ CE⊥AB， ………………4分
∴ 平面PCE⊥面PAB． …5分
（2）作CD的中点F，连结AF．
同理可得 AF⊥AB．
如图以A为原点，建立空间
直角坐标系A-xyz．
∵ PA⊥面ABCD，
∴ ∠PCA是PC与面ABCD所成角．
∴ ∠PCA=45º． ……………………………………………………………6分
∴ PA=AC=AB=2．
∴ P(0，0，2)．
又∵ D(-1，
，0)，E(1，0，0)，A(0，0，0)，
∴ 
(0，0，2)，
(-1，，0)．
设面APD的法向量为n1=(x，y，z)，
∴ n1
，n1
，
∴ 
令
，则x=3，z=0．
∴ n1
)． …………………………………………………………9分
同理可求得面PDE的一个法向量为n2
． ………………10分
∴ cos<n1，n2>=
，即 <n1，n2>=
．
∴ 二面角A-PD-E的大小为
． ………………………………………12分
19．解：（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，
，
解得n=3．
即盒中有“会徽卡”3张．…………………………………………………4分（2）由题意知，甲最多可能摸三次，
若甲第一次抽取就中奖，则
；………………………………………6分
若甲第二次抽取才中奖，则
； …………………………8分
若甲第三次抽取才中奖，则
． ………………10分
∴ 甲获奖的概率为
．……………………12分
20．解：∵ 
，
∴ 由
有
，
即切点坐标为(a，a)，(-a，-a)，
∴ 切线方程为y-a=3(x-a)，或y+a=3(x+a)，
整理得3x-y-2a=0，或3x-y+2a=0． ………………………………………2分
∴ 
解得：a=±1，………………………………………4分
∴ 
，
．
∴ g(x)=3x2-3bx+3．…………………………………………………………5分
（1）∵
∵ g(x)在x=1处有极值，
∴ 
，即3×12-3b=0，
解得 b=1．
∴ g(x)=3x2-3x+3．…………………………………………………………7分（2）∵ 函数在[-1，1]是增函数，
∴ 
(x)=3x2-3b在[-1，1]上恒大于0，
∴ b≤0． ……………………………………………………………………9分
又∵ b2-mb+4≥g(x)在[-1，1]上恒成立，
∴ b2-mb+4≥g(1)，
即 b2-mb+4≥4-3b． ………………………………………………………11分
∴ m≥b+3在b∈
上恒成立．
∴ m≥3，
∴ m的取值范围是
． ……………………………………………12分
21．解：（1）根据题意可列出如下方程组：
…………………………………………………………3分
解得a11=1，d=
，q=． …………………………………………………5分
（2）∵ ann=an1?qn-1
=[a11+(n-1)d]?qn-1
=[1+(n-1)×]?()n-1
=
， ……………………………………………………7分
∴ 
，
，
两式相减得 
．
∴ 
． …………………………………………………………10分
于是原不等式化为 4n-3×2n-40>0，
即 (2n+5)(2n-8)>0．
∴ 2n>8，
∴ n>3．
故使不等式成立的最小正整数为4．………………………………………12分
22．解：（1）∵ A(xA，yA)，B(xB，yB)分别在射线
=0，
上，
∴ 
，
，即
，
，
∴ xAxB=-3yAyB．
又∵ 
，
∴ xAxB+yAyB=-2．
∴ -2yAyB=-2，
∴ yAyB=1．……………………………………………………………………3分
（2）设P(x，y)．
由
可得 
，
，
即 
，
∴ 
，(yA+yB)2=4y2，
两式相减有：
x2?4y2，即
．…………………………6分
∵ yA≥0，yB≥0，且yA、yB不同时为0，
∴ y>0．
∴轨迹C的方程为（y>0），它表示双曲线
的上支．
………………………………………………………………………………7分
（3）
消去x，整理得：(3k2-1)y2+2my-m2-3k2=0．……………………………8分
∵ 直线y=kx+m与曲线C交于M，N两点，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴ Δ>0，y1+y2>0，y1y2>0，
即
………………………………10分
由①整理得：m2+3k2-1>0， ④
由③有：3k2-1<0， ⑤
∴ 由②有m>0．
又∵ M、N在以点G为圆心的圆上，
设MN的中点为Q，则GQ⊥MN，即
．
∵ Q(
)，
∴ 
，
，
∴ 
．
∴ 
．
∵ x1≠x2
∴ 
，
∴ 
．
又∵ 
，
∴ 
．
整理得4mk=3k2-1， ⑥…………………………………………………12分
把⑥代入④中有：m2+4mk>0，
由m>0，所以m+4k>0．
又由⑥有m=
，代入上式得
，
∴ 
，
∵ 4mk=3k2-1中3k2-1<0，m>0，∴k<0．
于是19k2-1<0．
解得 
．
再由3k2-1<0，得
．
综合得k的取值范围为(
，0)．………………………………………14分