天津市河北区2007届高三第一次模拟考试数学理科试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 集合A={x|-3<x<5},B={x|x<1或x>4},则RA∩R B是( )
A. B.{x|-3≤x≤5}
C.{x|-3≤x≤1或4≤x≤5} D.{x|x≤-3或1≤x≤4或x≥5}
2. 函数的定义域为( )
A.(-∞,) B.(,+∞) C.(,2] D.(,2)
3. 设数列{an}是等差数列,且a2=-9,a7=11,Sn是数列{an}是的前n项和,则( )
A.S7=S8
B.S8>
4. 把函数y=cos(x+)的图象向右平移φ个单位,所得的图象正好关于y轴对称,
则φ的最小正值为( )
A. B. C. D.
5. 已知a、b为向量,下列命题中正确的是( )
A. B.若,则
C.≥ D.
6. 点P(x,y)在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,-2)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界),则的取值范围是( )
A.[,] B.(1,) C.(,) D.(,1)
7. 三棱锥P―ABC中,PA、PB、PC两两垂直且PA=2,PB=4,PC=2,如果三棱锥的四个顶点都在同一球面上,那么这个球的球心到直线PB的距离为( )
A. B.5 C. D.
8. 曲线y2=4x上的点P到点A(-2,4)与到y轴的距离之和为d,则d的最小值是 ( )
A. B.3 C.4 D.5
9. 某运输公司有7个车队,每个车队的车都多于4辆且这7个车队的车型号都相同,要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队,每个队至少抽1辆车,则不同抽法的种数为( )
A.7 B.28 C.35 D.84
10.若f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象经过点A(0,4)和点B(3,-2),则当不等式 的解集为(-1,2)时,t的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.
11.复数的值是__________ .
12.以原点为圆心,且截直线所得弦长为8的圆的方程是___________ .
13.的值等于_________________ .
14.使有实数解的a的取值范围是_________________.
15.已知-≤x≤,要使成立,则实数m的取值范围是__________.
16.如果方程恰有唯一解,则实数k的取值范围是___________________.
三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)的对称轴方程;
(Ⅲ)求f(x)的单调递减区间.
18.(本小题满分12分)从一批含有13只正品,2只次品的产品中不放回地抽取3次,每次抽取一只,设抽得次品数为. (Ⅰ)求的分布列;(Ⅱ)求E.
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ax4+bx2+c的图象经过点(0,2),且在x=1处的切线方程
是y=-4x+.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调递减区间;
(Ⅲ)求函数y=f(x)在区间[-4,1]上的最值.
20.(本小题满分12分)
如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4.
E是PD的中点.
(Ⅰ)求证:平面PDC⊥平面PAD;
(Ⅱ)求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值;
(Ⅲ)求B点到平面EAC的距离.
21.(本小题满分14分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=(n∈N*),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数t,使得任意的n均有Sn>总成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
22.(本小题满分14分)已知椭圆C的方程为 ,过其左焦点F1(-1,0)斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点.
(Ⅰ)若与=(-3,1)共线,求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知直线l:,在l上求一点M,使以椭圆的焦点为焦点且过M点的双曲线E的实轴最长,求点M的坐标和此双曲线E的方程.
天津市河北区2007届高三第一次模拟考试数学理科解答
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
D
B
C
A
C
D
C
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
11.2 12. 13.
14. 15.m≥ 16.k∈(-∞,0]∪(,+∞)
三、解答题:本大题共6小题,共76分.
17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ) f(x)=(cos4x-sin4x)-2sinx?cosx=(cos2x-sin2x)-sin2x
=cos2x-sin2x=cos(2x+). ………………………… 4分
∴f(x)的最小正周期T==π. …………………………………… 6分
(Ⅱ)2x+=kπ,则x=-,k∈Z.
∴函数f(x)的对称轴方程是x=-,k∈Z. …………………… 8分
(Ⅲ)令2kπ≤2x+≤2kπ+π, ………………………………………… 10分
则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故f(x)的单调递减区间为[kπ-,kπ+],k∈Z. ………… 12分
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)的分布如下:
0
1
2
P
…………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.……………………12分
19.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题意知(x)=4ax3+2bx, …………………………………… 2分
f(0)=2,(1)=-4,f(1)=-,
∴ . ………………………………………………………… 4分
∴a=,b=-,c=2.
∴f(x)=x4-x2+2. ………………………………………………… 6分
(Ⅱ)∵(x)=x3-5x, ……………………………………………………… 7分
由x3-5x<0,得x∈(-∞,-)∪(0,),
∴f(x)的单调递减区间为(-∞,-)和(0,). ……………… 9分
(Ⅲ)∵在区间[-4,1]上有,,…………………… 10分
∴解得,,,f(1)=-.
∴在区间[-4,1]上函数y=f(x)的最大值为26,最小值为. … 12分
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ),,
. ……………………………………………………………… 2分
而
.
∵,
. ………………………………………………… 4分
(Ⅱ)取中点, 连结 , 则 ,
∵平面,
∴平面,
过作交于,连结,
则 就是二面角所成平面角. ………………………… 6分
由,则.
在中, 解得
因为是的中点,所以. ……………………………… 7分
而,由勾股定理可得. ……………………………… 8分
∴. ……………………………… 9分
(Ⅲ)连结BE,在三棱锥B-EAC中,
, …………………………… 10分
. ………………… 11分
点E到底面BAC的距离EO=1,
则由,即,
求得.
所以B点到平面EAC的距离是. ……………………………………… 12分
21.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2, ……………………… 2 分
整理得2a1d=d2.
∵a1=1,解得(d=0舍),d=2. ………………………………………… 4 分
∴an=2n-1(n∈N*). …………………………………………………… 6 分
(Ⅱ)bn===(-),
∴Sn=b1+b2+…+bn=[(1-)+(-)+…+(-)]
=(1-)=. …………………………………… 10 分
假设存在整数t满足Sn>总成立.
又Sn+1-Sn=-=>0,
∴数列{Sn}是单调递增的. ……………………………………………… 12 分
∴S1=为Sn的最小值,故<,即t<9.
又∵t∈N*,
∴适合条件的t的最大值为8. ………………………………………… 14 分
22.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)将直线PQ的方程为,
化简得.
令则 . ……………………… 2分
由, 与=(-3,1)共线,得
∴.
∴,即,∴. ………………… 4分
又∵, ∴.
所以椭圆C的方程为. …………………………………… 6分
(Ⅱ)设椭圆C的右焦点为F2,则易知F1(-1,0)F2(1,0),
直线l的方程为:,因为M在双曲线E上,要双曲线E的实轴最大,只须||MF1|-|MF2||最大, …………………………………………………… 8分
设F2(1,0)关于直线l的对称点为,
则可求(,-),则直线与直线l的交点为所求M,
得M(,-). ……………………………………… 10分
又=||MF1|-|MF2||=||MF1|-|M||≤=, ……… 12分
∴,.
故所求双曲线E方程为: . ……………………………… 14分