天津市河北区2007届高三第一次模拟考试数学理科试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 集合A={x|-3<x<5},B={xx<1或x>4},则RAR B是(       )

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    A.                               B.{x|-3≤x≤5}

C.{x|-3≤x≤1或4≤x≤5}          D.{xx≤-3或1≤x≤4或x≥5}

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2. 函数的定义域为(       

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A.(-∞,)    B.(,+∞)   C.(,2]         D.(,2)

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3. 设数列{an}是等差数列,且a2=-9,a7=11,Sn是数列{an}是的前n项和,则(     )

A.S7=S8                 B.S80              C.S7=0            D.a4>0

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4. 把函数y=cos(x)的图象向右平移φ个单位,所得的图象正好关于y轴对称,

则φ的最小正值为(          )

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    A.            B.              C.            D.

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5. 已知ab为向量,下列命题中正确的是(           )

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A.                      B.若,则

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C.                             D.

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6. 点P(x,y)在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,-2)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界),则的取值范围是(           )

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A.[]     B.(1,)  C.()     D.(,1)

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7. 三棱锥P―ABC中,PA、PB、PC两两垂直且PA=2,PB=4,PC=2,如果三棱锥的四个顶点都在同一球面上,那么这个球的球心到直线PB的距离为(       )

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       A.          B.5     C.          D.

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8. 曲线y2=4x上的点P到点A(-2,4)与到y轴的距离之和为d,则d的最小值是 (      )

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    A.        B.3              C.4           D.5

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9. 某运输公司有7个车队,每个车队的车都多于4辆且这7个车队的车型号都相同,要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队,每个队至少抽1辆车,则不同抽法的种数为(    )

A.7              B.28                   C.35          D.84

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10.若f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象经过点A(0,4)和点B(3,-2),则当不等式 的解集为(-1,2)时,t的值为(          )

       A.-1               B.0               C.1             D.2

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二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24.把答案填在题中横线上.

11.复数的值是__________ .

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12.以原点为圆心,且截直线所得弦长为8的圆的方程是___________ .

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13.的值等于_________________ .

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14.使有实数解的a的取值范围是_________________.

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15.已知-≤x≤,要使成立,则实数m的取值范围是__________.

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16.如果方程恰有唯一解,则实数k的取值范围是___________________.

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三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)已知函数fx)=cos4x-2sinxcosx-sin4x

(Ⅰ)求fx)的最小正周期;

(Ⅱ)求fx)的对称轴方程;

(Ⅲ)求fx)的单调递减区间.

 

 

 

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18.(本小题满分12分)从一批含有13只正品,2只次品的产品中不放回地抽取3次,每次抽取一只,设抽得次品数为. (Ⅰ)求的分布列;(Ⅱ)求E

 

 

 

 

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19.(本小题满分12分)

已知函数fx)=ax4bx2c的图象经过点(0,2),且在x=1处的切线方程

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y=-4x

(Ⅰ)求函数yfx)的解析式;

(Ⅱ)求函数yfx)的单调递减区间;

(Ⅲ)求函数yfx)在区间[-4,1]上的最值.

 

 

 

 

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20.(本小题满分12分)

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如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4.

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E是PD的中点.

(Ⅰ)求证:平面PDC⊥平面PAD;              

    (Ⅱ)求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值;

    (Ⅲ)求B点到平面EAC的距离.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21.(本小题满分14分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

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(Ⅱ)设bnnN*),Snb1b2+…+bn,是否存在最大的整数t,使得任意的n均有Sn总成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.

 

 

 

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22.(本小题满分14分)已知椭圆C的方程为 ,过其左焦点F1(-1,0)斜率为1的直线交椭圆于P、Q两点.

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(Ⅰ)若=(-3,1)共线,求椭圆C的方程;

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(Ⅱ)已知直线l:,在l上求一点M,使以椭圆的焦点为焦点且过M点的双曲线E的实轴最长,求点M的坐标和此双曲线E的方程.

 

 

 

 

天津市河北区2007届高三第一次模拟考试数学理科解答

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

B

D

B

C

A

C

D

C

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二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.

11.2              12.    13.

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14.          15.m≥          16.k∈(-∞,0]∪(,+∞)

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三、解答题:本大题共6小题,共76分.

17.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ) fx)=(cos4x-sin4x)-2sinx?cosx=(cos2x-sin2x)-sin2x

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=cos2x-sin2xcos(2x). ………………………… 4分

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fx)的最小正周期T=π.  …………………………………… 6分

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(Ⅱ)2xkπ,则xk∈Z.

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∴函数fx)的对称轴方程是xk∈Z. …………………… 8分

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(Ⅲ)令2kπ≤2x≤2kπ+π, ………………………………………… 10分

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kπ-xkπ+k∈Z.

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fx)的单调递减区间为[kπ-kπ+],k∈Z.  ………… 12分

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18.(本小题满分12分)

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解:(Ⅰ)的分布如下:

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0

1

2

P

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                …………………………………………………………6分

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知.……………………12分

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19.(本小题满分12分)

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解:(Ⅰ)由题意知(x)=4ax3+2bx,   …………………………………… 2分

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f(0)=2,(1)=-4,f(1)=-

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. ………………………………………………………… 4分

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ab=-c=2.

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fx)=x4x2+2.  ………………………………………………… 6分

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(Ⅱ)∵x)=x3-5x,  ……………………………………………………… 7分

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x3-5x<0,得x∈(-∞,-)∪(0,),

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fx)的单调递减区间为(-∞,-)和(0,). ……………… 9分

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(Ⅲ)∵在区间[-4,1]上有,…………………… 10分

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∴解得f(1)=-

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∴在区间[-4,1]上函数yfx)的最大值为26,最小值为. … 12分

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20.(本小题满分12分)

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解:(Ⅰ)

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.   ……………………………………………………………… 2分

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    而 

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.  ………………………………………………… 4分

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(Ⅱ)取中点, 连结 , 则 ,

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平面,  

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平面

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,连结

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就是二面角所成平面角.  ………………………… 6分

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,则.

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中,   解得

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因为的中点,所以. ……………………………… 7分

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,由勾股定理可得. ……………………………… 8分

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.  ……………………………… 9分

(Ⅲ)连结BE,在三棱锥B-EAC中,

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,  …………………………… 10分

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. ………………… 11分

    点E到底面BAC的距离EO=1,

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则由,即

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  求得

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所以B点到平面EAC的距离是.  ……………………………………… 12分

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21.(本小题满分14分)

解:(Ⅰ)由题意得(a1d)(a1+13d)=(a1+4d2, ……………………… 2 分

整理得2a1dd2

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a1=1,解得(d=0舍),d=2.  ………………………………………… 4 分

an=2n-1(nN*).   …………………………………………………… 6 分

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(Ⅱ)bn),

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Snb1b2+…+bn[(1-)+()+…+()]

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(1-)=.   …………………………………… 10 分

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假设存在整数t满足Sn总成立.

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Sn+1Sn>0,

∴数列{Sn}是单调递增的.   ……………………………………………… 12 分

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S1Sn的最小值,故,即t<9.

又∵tN*

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∴适合条件的t的最大值为8.   ………………………………………… 14 分

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22.(本小题满分14分)

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解:(Ⅰ)将直线PQ的方程为

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       化简得

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       令.  ……………………… 2分

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,  =(-3,1)共线,得

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,即,∴.  ………………… 4分

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又∵,   ∴

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所以椭圆C的方程为.  …………………………………… 6分

(Ⅱ)设椭圆C的右焦点为F2,则易知F1(-1,0)F2(1,0),

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直线l的方程为:,因为M在双曲线E上,要双曲线E的实轴最大,只须||MF1|-|MF2||最大,   …………………………………………………… 8分

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设F2(1,0)关于直线l的对称点为

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则可求,-),则直线与直线l的交点为所求M,

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得M(,-). ……………………………………… 10分

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=||MF1|-|MF2||=||MF1|-|M||≤, ……… 12分

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故所求双曲线E方程为: . ……………………………… 14分

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