试卷类型：A
2009年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件、相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率
是
，那么
次独立重复试验中事件 其中表示球的半径
恰好发生
次的概率
第Ⅰ卷(选择题 60分)
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数
的反函数为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在等差数列
中，
，则此数列的前13项的和等于（ ）
A．13 B．
4．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数
的图象只可能是（ ）
 |
6．已知正三棱锥中，一条侧棱与底面所成的角为
，则一个侧面与底面所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在
的展开式中，含
项的系数是是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各一名的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．过圆
上一点
作切线与
轴，
轴的正半轴交于
、
两点，则
的最小值为（ ）
A． B．
C．
D．
10．已知函数
，若
是奇函数，则曲线
在点
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设动直线
与函数
和
的图象分别交于
、
两点，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．双曲线
的左准线为
，左焦点和右焦点分别为
、
，抛物线
的准线为，焦点为，
与的一个交点为，线段
的中点为，
是坐标原点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若方程
的一个根大于2且小于3，则
的取值范围是 ．
14．若棱长为的正方体
的八个顶点都在球的表面上，则，
两点之间的球面距离为
．
15．某工厂的库房有A、B、C、D四类产品，它们的数量依次成等成数列，共计3000件。现采用分层抽样方法从中抽取150件进行质量检测，其中B、D两类产品抽取的总数为100件，则原库房中A类产品有 件．
16．给出以下四个命题：
①曲线
的焦点坐标是
；
②函数
的图象的对称中心是
；
③函数
的最小值为2；
④函数
的定义域是
．
则正确命题的序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
18．(本小题满分12分)
在
中，
，
．
(Ⅰ)求
；
(11)设
，当
的面积为
时，求
的值．
19．(本小题满分12分)
在四棱锥
中，底面
是
边长为2的菱形，
，
，
，
是
的中点．
(Ⅰ)证明：
平面；
(Ⅱ)求二面角
的大小．
20．(本小题满分12分)
已知函数
．
(I)求的单调递增区间；
(Ⅱ)对任意的
，
成立，求实数的取值范围．
21．(本小题满分12分)
在数列中，
，
，
．
(Ⅰ)证明：数列
是等比数列；
(Ⅱ) 求数列的通项公式。
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22．(本小题满分12分)
已知两点和分别在直线
和
上运动，且
，动点满足：
(为坐标原点)，点的轨迹记为曲线
．
(Ⅰ)求曲线的方程，并讨论曲线的类型；
(Ⅱ)过点
作直线与曲线交于不同的两点、，若对于任意
，都有
为锐角，求直线的斜率
的取值范围．
2009石家庄市高三第一次模拟考试
数学文科答案
一、A卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.A 2. B 3. A 4. C 5.A 6.D
7. A 8. B 9. A 10. C 11.D 12.C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．
14．
15． 200 16．②，④
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（小时）
,……………………………7分
.…………………………………9分
18．(本题12分)
解: (Ⅰ) 由余弦定理知:
……………………………3分
则
,
……………6分
(Ⅱ)
,即
共线. ………………………8分
……………10分
,
,
…………………………………12分
19．(本题12分)
（Ⅰ）取
的中点，连结
，
.
四边形
为菱形,
,
则
……………3分
.
同理
.
故
.………………………6分
（或用同一法可证）
（Ⅱ）取
的中点
，过作
于点，连结
.
,
是二面角
的平面角，………9分
可求得
.
故二面角的大小为
.………………………12分
20. (本题12分)
（Ⅰ）
，令
得
……………2分
当
时，
,
故的单调递增区间是
…………………………4分
(Ⅱ)(?)当
时，
,
在
上递增，
要满足条件,只需
，解得.……………………6分
(?)当
时，
，
在
上是递减函数，在
上是递增函数。
,
与已知矛盾, 无解.…………………8分
(?)当
时，
在上是减函数，在上是减函数.
要使恒成立，只需
，即
，得
或
.
与矛盾，无解.…………………………10分
综上所述，满足条件的取值范围是
.……………………12分
(另解：由题意可得
得，故只有上述第一种情况符合条件.)
21．(本题12分)
（Ⅰ）由等式，
变形得
,……………………3分
,从而
.
∴数列｛an＋1－2an｝是以2为公比，以4为首项的等比数列. …………………6分
（Ⅱ）
∴
, 且
.
∴数列｛
｝是首项为1，公差为1的等差数列. …………………9分
∴＝1＋(n－1)×1＝n,
∴
. …………………………12分
22．(本题12分)
（I）由
，得是
的中点. …………………2分
设
依题意得:
消去
，整理得
．…………………4分
当
时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
当
时，方程表示焦点在轴上的椭圆；
当
时，方程表示圆． …………………5分
（II）由，焦点在轴上的椭圆，直线与曲线恒有两交点，
因为直线斜率不存在时不符合题意,
可设直线的方程为
，直线与椭圆的交点为
.
…………………7分
要使为锐角，则有
…………………9分
即
，
可得
，对于任意恒成立.
而
，
所以满足条件的的取值范围是
.…………………12分