1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，设自己拿到自己写的贺卡的人数为，①求的概率分布；②求的数学期望与方差.

2．有3张形状、大小、质量完全相同的卡片，在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张，读出其标号，然后把这张卡片放回去，再抽一张，其标号为，记.(1)求的分布列；(2)求和.

3．甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次为ξ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次为η.

　 (1)分别求ξ和η的期望；

　 (2)规定；若ξ>η，则甲获胜，若ξ<η，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率.

4．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.

　　　 (1)求该题被乙独立解出的概率；

　　　 (2)求解出该题的人数的数学期望和方差.

5．口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，二张标有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.

(Ⅰ)为何值时，其发生的概率最大？说明理由；

(Ⅱ)求随机变量的期望E.

6．A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子(x、y、z≥0，

且)，B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜.

　 (1)用x、y、z表示B胜的概率；

　 (2)当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？

7．某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是，

(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；

(2)若5人中恰有r人合格的概率为，求r的值；

(3)记测试合格的人数为，求的期望和方差.

8．袋中有1个白球和4个黑球，每次从其中任取一个球，直到取到白球为止.

(Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数的数学期望与方差；

(Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数的数学期望与方差.

9．从分别写有的九张卡片中，任意抽取两张，计算：

(Ⅰ)卡片上的数字都是奇数的概率；

(Ⅱ)当两张卡片上的数字之和能被3整除时，就说这次试验成功，求在15次试验中成功次数的数学期望.

10．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。

(Ⅰ)求甲答对试题数的概率分布及数学期望，

(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

11．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．(I) 求文娱队的人数；(II) 写出的概率分布列并计算．

12．某中学篮球队进行投篮训练，每人在一轮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直投到4次为止.已知运动员甲的投篮命中率为0.7.

(1)　 求一轮练习中运动员甲的投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ(结果保留两位有效数字)；

(2)　 求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.

13．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们各自独立地射击两次，设乙命中10环的次数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值.

　　 (1)求s的值及的分布列， (2)求的数学期望.

概率解答题练习

1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，设自己拿到自己写的贺卡的人数为，①求的概率分布；②求的数学期望与方差.

1．解：(1)分布列

	0	1	2	4

(2).

2．有3张形状、大小、质量完全相同的卡片，在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张，读出其标号，然后把这张卡片放回去，再抽一张，其标号为，记。(1)求的分布列；(2)求和。

解：(1)可能取的值为0、1、2、4。　　　　　　　　　　　 ……(2分)

　 且，，，　 ……(6分)

所求的分布列为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

	0	1	2	4

……(8分)

(2)由(1)可知，　　　　　　　 ……(11分)

　 　　　　　……(14分)

3．(本题满分14分)甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次为ξ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次为η.

　 (1)分别求ξ和η的期望；

　 (2)规定；若ξ>η，则甲获胜，若ξ<η，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率.

解ξ的可能取值为0，1，2，3则ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3

则Eξ

η的可能取值为0，1，2则η的分布列为

η	0	1	2

则Eη=

所以ξ、η的数学期望分别为、1

(2)P(ξ>η)=

　　 P(ξ<η)=

所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为。

4．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.

　　　 (1)求该题被乙独立解出的概率；

　　　 (2)求解出该题的人数的数学期望和方差.

解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.

设甲独立解出此题的概率为P₁，乙为P₂.(2分)

则P(A)=P₁=0.6,P(B)=P₂

	0	1	2
P	0.08	0.44	0.48

5．口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，二张标有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.

(Ⅰ)为何值时，其发生的概率最大？说明理由；

(Ⅱ)求随机变量的期望E。

解(I)依题意，随机变量的取值是2、3、4、5、6…………2分

因为P(=2)=；P(=3)=

　 P(=4)=；P(=5)=；

　 P(=6)=；…………7分

所以，当=4时，其发生的概率P(=4)=最大…………8分

(Ⅱ)E=………………12分

6．(本小题满分12分)A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子(x、y、z≥0，

且)，B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜.

　 (1)用x、y、z表示B胜的概率；

　 (2)当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？

解：(1)显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：

①A₁：“A、B均取红球”；②A₂：“A、B均取白球”；③A₃：“A、B均取黄球”.

(2)由(1)知，

于是，即A在箱中只放6

个红球时，获胜概率最大，其值为

7．某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是，

(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；

(2)若5人中恰有r人合格的概率为，求r的值；

(3)记测试合格的人数为，求的期望和方差。

解：(1)体育教师不坐后排记为事件A，则。

(2)每位考生测试合格的概率，测试不合格的概率为

则，即，

∴，　

(3)∵-　

∴ 　

8．袋中有1个白球和4个黑球，每次从其中任取一个球，直到取到白球为止.

(Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数的数学期望与方差；

(Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数的数学期望与方差。

解(Ⅰ)当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回，所以的可能取值为1，2，3，4，5，易知

，

，

故随机变量的概率分布列为：

	1	2	3	4	5
P

　…………….6分

(Ⅱ)当每次取出的黑球仍放回去时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球仍放回去，所以的可能取值是一切正整数，

所求概率分布为

	1	2	3	…	n	…
P				…		…

9．从分别写有的九张卡片中，任意抽取两张，计算：

(Ⅰ)卡片上的数字都是奇数的概率；

(Ⅱ)当两张卡片上的数字之和能被3整除时，就说这次试验成功，求在15次试验中

成功次数的数学期望。

(Ⅰ)；

(Ⅱ)一次试验成功的概率为，从而，故

。

10．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。

(Ⅰ)求甲答对试题数的概率分布及数学期望。

(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

解：(Ⅰ)依题意，甲答对试题数的概率分布如下：

	0	1	2	3

…………4分

甲答对试题数的数学期望：

……………………………………4分

(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为

　　则

　　…………………理9分(文6分)

　　甲、乙两人考试均不合格的概率为：

　

∴甲、乙两人至少一个合格的概率为………理文均12分

11．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．

(I) 求文娱队的人数；

(II) 写出的概率分布列并计算．

解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7-x)人，那么只会一项的人数是

(7-2 x)人．

　(I)∵，

∴．……………………………………3分

即．

∴．

∴x=2．　　　　　 ……………………………………5分

故文娱队共有5人．……………………………………7分

(II) 的概率分布列为

	0	1	2
P

，……………………………………9分

，……………………………………11分

∴　=1．　 …………………………13分

12．某中学篮球队进行投篮训练，每人在一轮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直投到4次为止.已知运动员甲的投篮命中率为0.7.

(3)　 求一轮练习中运动员甲的投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ(结果保留两位有效数字)；

(4)　 求一轮练习中运动员甲至少投篮3次的概率.

解：(1)ξ的可能取值为1，2，3，4，

ξ=1时，P(ξ=1)=0.7

ξ=2时，P(ξ=2)=0.7(1-0.7)=0.21;

ξ=3时，P(ξ=3)=0.7(1-0.7)²=0.063

ξ=4时，P(ξ=4)=0.7(1-0.7)³+(1-0.7)⁴=0.027.

∴ξ的分布为

ξ	1	2	3	4
P	0.7	0.21	0.063	0.027

∴Eξ=1×0.7+×2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4

(2)P(ξ≥3)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=0.063+0027=0.09

13.甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们各自独立地射击两次，设乙命中10环的次数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值.

　　 (1)求s的值及的分布列，

　　 (2)求的数学期望.

解:(1)依题意知ξ∽B(2，s)，故Eξ=2s=，

　 ∴s=．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

　 的取值可以是0，1，2.

甲、乙两人命中10环的次数均为0次的概率是，

甲、乙两人命中10环的次数均为1次的概率是，

甲、乙两人命中10环的次数均为2次的概率是，

∴(=0)=．　　　　　　　　　 …………6分

甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是，

甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是．

∴(=2)==，　　　　　　　　　　　　　　　

∴(=1)=1(=0)(=2)=．　………10分

故的分布列是

	0	1	2

………12分

(2)E=．　　　　　　 …………14分