Question

1．已知两点M（-1，0）和N（1，0），若直线上存在点P，使|PM|+|PN|=4，则称该直线为“T型直线”．给出下列直线：①y=x+2；②y=-$\sqrt{3}$x+1；③y=-x-3；④y=$\frac{1}{2}$x+1，其中为“T型直线”的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根据椭圆的定义可得点P在以M，N 为焦点、长轴等于4的椭圆上，将问题转化为考查哪些直线和椭圆有交点，从而得到结论．

解答 解：满足|PM|+|PN|=4的点，在以M，N 为焦点、长轴等于4的椭圆上，椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
①联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得7x²-16x+4=0，
△=（-16）²-16×7＞0，直线y=x+2和椭圆有两个交点，满足条件；
②联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得$15{x}^{2}-8\sqrt{3}x-16=0$，
△=$（-8\sqrt{3}）^{2}+4×15×16＞0$，直线y=-$\sqrt{3}$x+1和椭圆有两个交点，满足条件；
③联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得7x²+24x+24=0，
△=（24）²-4×7×24＜0，直线y=-x-3与椭圆无交点，故不满足条件；
④联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得x²+x-4=0，
△=17＞0，直线y=$\frac{1}{2}$x+1与椭圆有2个交点，故满足条件．
∴“T型直线”是①②④．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的定义、直线和椭圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，问题转化为考查直线和椭圆有无交点问题，是中档题．