题目内容

16.已知棱长为a的正四面体可以在一个单位正方体(棱长为1)内任意地转动.设P,Q分别是正四面体与正方体的任意一顶点,当a达到最大值时,P,Q两点间距离的最小值是$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

分析 由题意判断出正四面体是单位正方体的内接球的内接正四面体,画出图象再求出最小距离值.

解答 解:由题意可知,正四面体只需在单位正方体的内接球内,
即是正四面体是单位正方体的内接球的内接正四面体,如图:
先作正方体的内切球O,点H是右侧面的中心,在球O上,P为正方体的顶点,
内切球与体对角线交于点Q,此时PQ间的距离取得最小值,
因为正方体的棱长为1,则内接球的半径为$\frac{1}{2}$,
所以|PQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$,
故答案为:$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

点评 本题考查了正方体、内接球和内接四面体的关系,考查了空间想象能力,属于中档题.

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