题目内容
(本小题满分12分)
如图,在矩形ABCD中,已知A(2,0)、C(-2,2),点P在BC边上移动,线段OP的垂直平分线交y轴于点E,点M满足(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)已知点F(0,),过点F的直线l与点M的轨迹相交于Q、R两点,且求实数的取值范围.
如图,在矩形ABCD中,已知A(2,0)、C(-2,2),点P在BC边上移动,线段OP的垂直平分线交y轴于点E,点M满足(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)已知点F(0,),过点F的直线l与点M的轨迹相交于Q、R两点,且求实数的取值范围.
(Ⅰ) 点M的轨迹方程为x2=-4(y-1)( ) (Ⅱ)
(Ⅰ)依题意,设P(t,2)(),M(x,y).
当t=0时,点M与点E重合,则M(0,1),
当t≠0时,线段OP的垂直平分线方程为:…… 3分
即
由得
显然,点(0,1)适合上式 .
故点M的轨迹方程为x2=-4(y-1)( )… 6分
(Ⅱ)设得x2+4kx-2=0.
设Q(x1,y1)、R(x2,y2),则……… 8分
,.消去x2,得.…10分
解得 12分
当t=0时,点M与点E重合,则M(0,1),
当t≠0时,线段OP的垂直平分线方程为:…… 3分
即
由得
显然,点(0,1)适合上式 .
故点M的轨迹方程为x2=-4(y-1)( )… 6分
(Ⅱ)设得x2+4kx-2=0.
设Q(x1,y1)、R(x2,y2),则……… 8分
,.消去x2,得.…10分
解得 12分
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