题目内容
已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y2=2x相交于A、B两点,且OA⊥OB,OE⊥AB于E.
①求证:直线L过定点;
②求点E的轨迹方程.
①求证:直线L过定点;
②求点E的轨迹方程.
①令直线ty=x-b(b≠0)与抛物线y2=2x相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点(给直线方程给分)…(1分)
由
得:y2-2ty-2b=0…(2分)
于是,y1、y2是此方程的两实根,由韦达定理得:y1+y2=2ty1y2=-2b…(3分)
x1x2=(ty1+b)(ty2+b)=t2y1y2+tb(y1+y2)+b2=b2…(4分)
又OA⊥OB?x1x2+y1y2=0…(5分)
∴b2-2b=0,又b≠0,
∴b=2…(6分)
故直线L:ty=x-2过定点C(2,0)…(8分)
②∵O(0,0),C(2,0),OE⊥CE…(9分)
∴点E的轨迹是以线段OC为直径的圆除去点O,…(11分)
故点E的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠0)…(12分)
说明:直线L的方程设为y=kx+b又没有讨论k不存在的情况扣(2分);轨迹方程中没有限制x≠0扣(1分).
由
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于是,y1、y2是此方程的两实根,由韦达定理得:y1+y2=2ty1y2=-2b…(3分)
x1x2=(ty1+b)(ty2+b)=t2y1y2+tb(y1+y2)+b2=b2…(4分)
又OA⊥OB?x1x2+y1y2=0…(5分)
∴b2-2b=0,又b≠0,
∴b=2…(6分)
故直线L:ty=x-2过定点C(2,0)…(8分)
②∵O(0,0),C(2,0),OE⊥CE…(9分)
∴点E的轨迹是以线段OC为直径的圆除去点O,…(11分)
故点E的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠0)…(12分)
说明:直线L的方程设为y=kx+b又没有讨论k不存在的情况扣(2分);轨迹方程中没有限制x≠0扣(1分).
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