Question

【题目】已知曲线在点处的切线与曲线也相切.

(1)求实数的值；

(2)设函数，若且，证明: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到，先求出在处的切线方程是，再根据题意这个直线也是的切线，联立判别式等于零解出参数即可；（2）研究函数的单调性得到当时， 是减函数；当时， 是增函数，再证当时， 恒成立，即，赋值法得到，证得即可。

(1) ∵，当时， ，故在处的切线方程是，联立，消去得，∴，∴或1，故．

(2)由(1)知，由，则．又 ，当时， 是减函数；当时， 是增函数，令， ，再令，则 ，∴．又，当时， 恒成立，即恒成立．令，即，有，即，∵，∴.又，必有，又当时， 是增函数， ∴-，即.