题目内容
【题目】在三棱锥 中,底面
是边长为 2 的正三角形,顶点
在底面
上的射影为
的中心,若
为
的中点,且直线
与底面
所成角的正切值为
,则三棱锥
外接球的表面积为( )
A. B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心,
而且底面BCD是正三角形,
∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥,∴AB=AC=AD,
令底面三角形BCD的重心(即中心)为P,
∵底面BCD为边长为2的正三角形,DE是BC边上的高,
∴DE=,∴PE=
,DP=
∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2,即
∴AP=,
∵AD2=AP2+DP2(勾股定理),∴AD=2,于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2,
∴三棱锥为正四面体,构造正方体,由面上的对角线构成正四面体,故正方体的棱长为,
∴正方体的对角线长为,∴外接球的半径为
.
∴外接球的表面积=4πr2=6π.
故选D.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目