题目内容
【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
（1）求证：平面AED⊥平面A1FD1；
（2）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面ADE．
【答案】
（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），A1（2，0，2），D1（0，0，2），
设平面AED的法向量为
=（x1，y1，z1），
则 
=（x1，y1，z1）（2，0，0）=0，
=（x1，y1，z1）（2，2，1）=0，
∴2x1=0，2x1+2y1+z1=0．
令y1=1，得 =（0，1，﹣2），
同理可得平面A1FD1的法向量 
=（0，2，1）．
∵ 
=0，∴ 
，
∴平面AED⊥平面A1FD1．
（2）解：由于点M在直线AE上，
设 
=λ（0，2，1）=（0，2λ，λ）．
可得M（2，2λ，λ），∴ 
=（0，2λ，λ﹣2），
∵AD⊥A1M，∴要使A1M⊥平面ADE，
只需A1M⊥AE，
∴ 
=（0，2λ，λ﹣2）（0，2，1）=5λ﹣2=0，
解得λ= 
．故当A= A时，A1M⊥平面ADE
【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，不妨设正方体的棱长为2，设平面AED的法向量为 
=（x1，y1，z1），
利用 
=0， 
=0，得 =（0，1，﹣2），同理可得平面A1FD1的法向量 
=（0，2，1）．
通过 
=0，证明平面AED⊥平面A1FD1．（2）由于点M在直线AE上，设 
=（0，2λ，λ）． 
=（0，2λ，λ﹣2），利用AD⊥A1M， 
=0，推出5λ﹣2=0，
解得λ= 
．故当A= A时，A1M⊥平面ADE点M在直线AE上，
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