Question

7．已知定义域为[1，2]的函数f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的图象过点（2，3）
（1）求实数a的值；
（2）若g（x）=f（x）+f（x²），求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的图象过点（2，3），代入可得实数a的值；
（2）求出函数g（x）=f（x）+f（x²）的解析式，进而分析函数的定义域和单调性，求出函数的最值后，可得函数的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2+log_ax（a＞0，a≠1）的图象过点（2，3），
∴3=2+log_a2，即log_a2=1，
解得：a=2…（6分）
（2）∵g（x）=f（x）+f（x²）=4+3log₂x…（8分）
故g（x）的定义域满足$\left\{\begin{array}{l}1≤x≤2\\ 1≤{x^2}≤2\end{array}\right.⇒1≤x≤\sqrt{2}$…（10分），
且函数g（x）在定义域[1，$\sqrt{2}$]为增函数，
由g（1）=4，g（$\sqrt{2}$）=$\frac{11}{2}$，
故g（x）值域为$[{4，\frac{11}{2}}]$…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的单调性，函数的最值及值域，难度中档．