题目内容

12.已知函数f(x)=x2+2alnx.
(1)若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为2,求函数f(x)的图象在(1,f(1))的切线方程;
(2)若函数g(x)=$\frac{2}{x}$+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.

分析 (1)求导数,由f'(2)=1,求出a,再求函数f(x)的图象在(1,f(1))的切线方程;
(2)由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,即-$\frac{2}{x^2}$+2x+$\frac{2a}{x}$≤0在[1,2]上恒成立,即a≤$\frac{1}{x}$-x2在[1,2]上恒成立,求出函数的最小值,即可求实数a的取值范围.

解答 解:(1)$f'(x)=2x+\frac{2a}{x}=\frac{{2{x^2}+2a}}{x}$,由已知f'(2)=2,解得a=-2.…(2分)
∴f(x)=x2-4lnx,$f'(x)=2x-\frac{4}{x}$,
∴f(1)=1,f'(1)=-2…(4分)
∴函数f(x)的图象在(1,f(1))的切线方程为y-1=-2(x-1)即2x+y-3=0.…(6分)
(2)由g(x)=$\frac{2}{x}$+x2+2aln x,得g′(x)=-$\frac{2}{x^2}$+2x+$\frac{2a}{x}$,…(7分)
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-$\frac{2}{x^2}$+2x+$\frac{2a}{x}$≤0在[1,2]上恒成立.即a≤$\frac{1}{x}$-x2在[1,2]上恒成立.…(8分)
令h(x)=$\frac{1}{x}$-x2,在[1,2]上h′(x)=-$\frac{1}{x^2}$-2x=-($\frac{1}{x^2}$+2x)<0,
∴h(x)在[1,2]上为减函数,h(x)min=h(2)=-$\frac{7}{2}$,∴a≤-$\frac{7}{2}$.…(11分)
故实数a的取值范围为{a|a≤-$\frac{7}{2}$}.…(12分)

点评 本题考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查函数的最值,正确分离参数是关键.

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