Question

【题目】已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）.

（1）若，是圆上一动点，求点到直线的距离的最小值和最大值；

（2）直线与关于原点对称，且直线截曲线的弦长等于，求的值.

Answer 1

【答案】（1）的最小值为，最大值；（2）.

【解析】

（1）将曲线和直线的方程均化为普通方程，作出图形，利用数形结合思想可求得的最小值和最大值；

（2）求得直线的方程，求出圆心到直线的方程，利用勾股定理求得直线截曲线的弦长，结合已知条件可求得实数的值.

（1）当时，由，得曲线是圆的部分，如图所示，

将直线的直角坐标方程化为，

由图得，当与重合时，取最小值；

又曲线的圆心到直线的距离为，半径，则的最大值为；

（2）曲线，直线，

由于直线与关于原点对称，则直线的方程为，即，

圆心到直线的距离，

由圆的半径为，直线截圆的弦长等于，，即，解得.

经检验均合题意，.