题目内容
【题目】图1是某高架桥箱梁的横截面，它由上部路面和下部支撑箱两部分组成．如图2，路面宽度
，下部支撑箱CDEF为等腰梯形（
），且
．为了保证承重能力与稳定性，需下部支撑箱的面积为
，高度为2m且
，若路面AB．侧边CF和DE，底部EF的造价分别为4a千元/m，5a千元/m，6a千元/m（a为正常数），
．
（1）试用θ表示箱梁的总造价y（千元）；
（2）试确定cosθ的值，使总造价最低?并求最低总造价．
【答案】（1）
，
，其中
；（2）当
的值为
时，总造价最低，为
千元．
【解析】
（1）过点F作
于点H，由三角函数及支撑面面积可得
，写出总造价与θ的关系，并分析函数定义域；
（2）利用导数求函数的最小值，即可得到结论.
（1）过点F作于点H，则
，
所以在
中，
，
．
设
，
则由题意得
，解得
，
所以
，
故路面AB的造价为
千元，
侧边CF和DE的造价为
千元．
底部EF的造价为
，
所以
，
又因为
，
则
，
设锐角
满足
，则．
因此，，，其中．
（2）由（1）知
设
，其中，
则
．
令
，则
．
因为
．
所以
，列表如下：
|
|
|
|
|
| |
| － | 0 | ＋ | |||
| 4 |
所以当时，
，有
．
答：当
的值为时，总造价最低，为千元．
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