题目内容
【题目】如图,四边形为菱形,且
,
,
,点
在面
上的投影
恰在
上,点
为
中点.
(1)求证:为线段
的中点;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)过作
于
,连接
,证明点
为
中点.又利用
面
,证得
,结合条件
,即可证明
面
,从而得到
,证明
是中位线,即可证明
为线段
的中点;
(2)建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,分别求出平面的一个法向量
以及平面
的一个法向量
,再求出两个法向量的夹角的余弦,通过观察得二面角与两法向量夹角相等,则可得结论..
(1)证明:过作
于
,连接
,
由菱形,
,及
,
可知,
为
中点,
面
,
,
又,
面
,
面
,
,
又,
,
由为
中点,可知,
为线段
的中点;
(2)以所在直线为
轴,以
所在直线为
轴,
过平行
的直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
设面的一个法向量
,
,
,
,取
设面的一个法向量
,
,
,
,取
,
∴,
二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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