题目内容
【题目】如图,斜三棱柱中,
是边长为2的正三角形,
为
的中点,
平面
,点
在
上,
,
为
与
的交点,且
与平面
所成的角为
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)连结,证明相似得到
,得到证明.
(2)以,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,平面
的法向量为
,平面
的法向量为
,计算夹角得到答案.
(1)连结,
为
的中点,
,
,
又,
,
.
又平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)因为是边长为2的正三角形,
为
的中点,
平面
,
所以,,
,
两两垂直,以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
与平面
所成的角为
,又
∥
,
与平面
所成的角为
,
又平面
,
与平面
所成的角为
,即
.
又是边长为2的正三角形,
为
的中点,
,
由题意知,,
,
,
所以,,
,
,
设平面的法向量为
,
所以,,即
,取
,
设平面的法向量为
,
由,得
,取
,
所以,
设二面角的大小为
,
.
所以二面角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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