题目内容
【题目】农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原，如图所示，平行四边形形状的纸片是由六个边长为
的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为______；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为______．
【答案】
【解析】
在棱长为
的正四面体
中，取
中点
，连接
，
，作
平面
，由题意可得
，即可求得该六面体的体积；该球体积取最大值时，球心为
，且该球与相切，过球心作
，则
就是球的半径，求得后，利用球的体积公式即可得解.
该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为，如图所示，
在棱长为的正四面体中，取中点，连接，，
作平面，垂足在上，则
，
，
，
该六面体的体积
；
当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为，且该球与相切，过球心作，则就是球的半径，
，该球半径
，
该球体积的最大值为
．
故答案为：，.
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